Đề ôn luyện thi THPT Quốc gia môn Toán số 4

Câu 1. Cho số phức $z = {\left( {1 + i} \right)^5}$. Điểm biểu diễn số phức $z$ nằm trong góc phần tư nào của hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng phức?

A. Góc phần tư thứ $IV$

B. Góc phần tư thứ $I$

C. Góc phần tư thứ $II$

D. Góc phần tư thứ $III$

Câu 2. Số đối của số phức $z = - 1 + 2i$ là

A. $w = 1 - 2i$

B. $w = 1 + 2i$

C. $w = - 2 + i$

D. $w = - 1 - 2i$

Câu 3. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - 1} \right| = \left| {z + 2i + 1} \right|.$ Biết tập hợp các điểm biểu thị cho $z$ là một đường thẳng. Phương trình đường thẳng đó là

A. $x - y + 1 = 0$

B. $4x - 4y + 3 = 0$

C. $4x + 4y + 3 = 0$

D. $x + y + 1 = 0$

Câu 4. Cho hai số phức ${z_1},{z_2}$ thỏa mãn $\left| {{z_1} - 3} \right| = 2$ và ${z_2} = i{z_1}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z_1} - {z_2}} \right|.$

A. $\sqrt{2}$

B. $2\sqrt 2$

C. $\sqrt 2 - 1$

D. $2$

Câu 5. Tìm số phức $z$ biết rằng điểm biểu diễn của $z$ nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính bằng $1$ và nằm trên đường thẳng $x + y = \sqrt 2$.

A. $z = \sqrt 2 - 1 + i$

B. $z = \sqrt 2 i$

C. $z = \sqrt 2$

D. $z = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i$

Câu 6. Trong mặt phẳng phức cho các điểm $A,B,C$ theo thứ tự biểu diễn các số phức ${z_1} = - i;\,\,{z_2} = 2 + i;\,\,{z_3} = - 1 + i$. Tìm số phức $z$ biểu diễn điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

A. $z = - 1 - 3i$

B. $z = - 3 - i$

C. $z = - 2 - i$

D. $z = - 3$

Câu 7. Xác định $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{\left| {x + 1} \right|}}$.

A. $- \infty$

B. 1

C. $+ \infty$

D. -1

Câu 8. Cho hai đường thẳng a, b song song với nhau. Trên a ta chọn 10 điểm phân biệt, trên b ta chọn 11 điểm phân biệt. Có bao nhiêu hình thang được tạo thành từ 21 điểm đã cho ở trên?

A. 2475

B. 406

C. 2512

D. 304

Câu 9. Ông Minh mua một con lợn đất và ông ta bỏ tiền vào đó như sau: Tháng đầu tiên ông ta bỏ vào đó 6 triệu đồng. Các tháng tiếp theo cứ đầu mỗi tháng ông bỏ thêm vào 1 triệu đồng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng ông ta đủ mua tiền mua một chiếc điện thoại Iphone X giá 30 triệu đồng?

A. 24

B. 25

C. 28

D. 27

Câu 10. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình $2{\tan ^2}x + 5\tan x + 3 = 0$ là

A. $- \frac{\pi }{6}$

B. $- \frac{{5\pi }}{6}$

C. $- \frac{\pi }{3}$

D. $- \frac{\pi }{4}$

Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a,$ mặt bên tạo với mặt đáy một góc ${60^0}.$ Diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp là

A. $\frac{{\pi {a^2}\sqrt {10} }}{4}$

B. $\frac{{\pi {a^2}\sqrt {10} }}{2}$

C. $\frac{{\pi {a^2}\sqrt 5 }}{2}$

D. $\frac{{\pi {a^2}\sqrt 5 }}{4}$

Câu 12. Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $BB'$ và $CC'$. Mặt phẳng $\left( {AEF} \right)$ chia khối lăng trụ thành hai phần có thể tích ${V_1}$ và ${V_2}$ như hình vẽ. Khi đó tỉ số $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$ có giá trị là

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{4}$

Câu 13. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $a,$ $M$ là trung điểm của $AD.$ Xét khối tròn xoay sinh bởi tam giác $CDM$ (cùng các điểm trong của nó) khi quay quanh đường thẳng $AB.$ Thể tích của khối tròn xoay đó bằng

A. $\frac{{7\pi {a^3}}}{{12}}$

B. $\frac{{\pi {a^3}}}{3}$

C. $\frac{{3\pi {a^3}}}{4}$

D. $\frac{{5\pi {a^3}}}{{12}}$

Câu 14. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$ Tam giác $SAD$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SC$ là

A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{{21}}$

B. $\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$

C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{7}$

D. $\frac{{a\sqrt {21} }}{7}$

Câu 15. Cho hai đường thẳng $a,b$ cố định, song song với nhau và khoảng cách giữa chúng bằng $4.$ Hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$ thay đổi vuông góc gới nhau lần lượt chứa hai đường thẳng $a,b.$ Gọi $d$ là giao tuyến của $\left( P \right),\left( Q \right).$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $d$ thuộc một mặt trụ cố định có khoảng cách giữa đường sinh và trục bằng $4$

B. $d$ thuộc một mặt nón cố định

C. $d$ thuộc một mặt trụ cố định có khoảng cách giữa đường sinh và trục bằng $2\sqrt 2$

D. $d$ thuộc một mặt trụ cố định có khoảng cách giữa đường sinh và trục bằng $2$

Câu 16. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $O,O'$ lần lượt là tâm của hai hình vuông $ABCD$ và $A'B'C'D'$. Gọi ${V_1}$ là thể tích của khối trụ tròn xoay có đáy là 2 đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ABCD$ và $A'B'C'D'$, ${V_2}$ là thể tích khối nón tròn xoay đỉnh $O$ và có đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông $A'B'C'D'$. Tỷ số thể tích $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$ là

A. $2$

B. $8$

C. $4$

D. $6$

Câu 17. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = 8$, $SA$ vuông góc với đáy. Tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ $BC = 7$. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

A. $\frac{{\sqrt {113} }}{3}$

B. $\frac{{\sqrt {113} }}{4}$

C. $\frac{{\sqrt {113} }}{2}$

D. $\sqrt {113}$

Câu 18. Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos xdx}$.

A. $1$

B. $I = \frac{\pi }{2} - 1$

C. $I = \frac{\pi }{2}$

D. $I = \frac{\pi }{2} + 1$

Câu 19. Cho $\int\limits_{ - 3}^{ - 1} {f\left( x \right)dx} = 1$, $\int\limits_3^0 {f\left( x \right)dx} = - 2$. Tính $\int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)dx}$.

A. $- 3$

B. $3$

C. $1$

D. $- 1$

Câu 20. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x{e^x}$, trục hoành, đường thẳng $x = 0$ và $x = 1.$

A. $S = e - 1$

B. $S = 1$

C. $S = e$

D. $S = e + 1$

Câu 21. Cho hàm số $f\left( x \right) = 2mx + \ln x$. Tìm $m$ để nguyên hàm $F\left( x \right)$ của $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 1 \right) = 0$ và $F\left( 2 \right) = 2 + 2\ln 2$.

A. $m = 2$

B. $m = 0$

C. $m = 1$

D. $m = \frac{1}{2}$

Câu 22. Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{3 - 2x}}$. Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$. Chọn phương án đúng.

A. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {3 - 2x} \right| - 1$

B. $F\left( x \right) = - \ln \left( {3 - 2x} \right)$

C. $F\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^2}\left( {3 - 2x} \right)}}{4} + 1$

D. $F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\ln \left| {3 - 2x} \right| + \frac{1}{2}$

Câu 23. Gọi D là miền phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = \sqrt{\cos x}$, y = 0, x = 0 và $x = \frac{\pi }{4}$. Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay D quanh trục hoành.

A. $\frac{{\sqrt 2 \pi }}{2}$

B. $\sqrt 2 \pi$

C. $\frac{\pi }{2}$

D. $\frac{\pi }{{2\sqrt 2 }}$

Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD trong đó SA, AB, BC đôi một vuông góc với nhau và $SA = AB = BC = 1$. Khoảng cách giữa hai điểm S và C nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

A. $\sqrt 2$

B. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$

C. $\sqrt 3$

D. 2

Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình ${6^{\log _6^2x}} + {x^{{{\log }_6}x}} \le 12$ có dạng $S = \left[ {a;b} \right]$. Tính $P = a + b.$

A. $\frac{1}{6}$

B. $0$

C. $\frac{37}{6}$

D. $\frac{6}{37}$

Câu 26. Cho ${\log _a}b = 2.$ Tính ${\log _{\frac{a}{b}}}\left( {{a^2}b} \right).$

A. $- 4$

B. $\frac{1}{2}$

C. $- \frac{1}{2}$

D. $-2$

Câu 27. Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_x}\left( {x - 1} \right)} - 1}}$ là

A. $x > 1$ và $x \ne 2$

B. $x > 2$

C. $x > 1$

D. $x \ge 2$

Câu 28. Gọi ${x_1},\,\,{x_2}$,$\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$ là hai nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{{{{\left( {3 - \sqrt 8 } \right)}^x}}} + {\left( {\sqrt[3]{{\left( {3 + \sqrt 8 } \right)}}} \right)^x} = 6.$ Biểu thức $P = 2{x_1} + x_2^2$ có giá trị là

A. $3$

B. $- 3$

C. $15$

D. $0$

Câu 29. Cho ${\log _a}\pi < 0$ và ${\log _a}b > 0$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $a > 1$ và $0 < b < 1$

B. $0 < a < 1$ và $b > 1$

C. $a > 1$ và $b > 1$

D. $0 < a < 1$ và $0 < b < 1$

Câu 30. Đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{{{\mathop{\rm lgx}\nolimits} }}$ là

A. $y' = \frac{1}{{x\ln 10.{{\lg }^2}x}}$

B. $y' = - \frac{{\ln 10}}{{x{{\lg }^2}x}}$

C. $y' = - \frac{1}{{x{{\lg }^2}x}}$

D. $y' = - \frac{1}{{x\ln 10.{{\lg }^2}x}}$

Câu 31. Ông Minh gửi gói tiết kiệm tích lũy cho con tại một ngân hàng với số tiền tiết kiệm ban đầu là $200$ triệu đồng với lãi suất $7\% /$ năm. Từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm ông gửi thêm vào tài khoản với số tiền $20$ triệu đồng. Ông không rút lãi định kỳ hàng năm. Biết rằng, lãi suất định kì hàng năm không thay đổi. Hỏi sau $10$ năm, số tiền ông Minh nhận về cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu? (làm tròn đến 3 chữ số thập phân).

A. $710,030$ triệu đồng

B. $559,632$ triệu đồng

C. $669,759$ triệu đồng

D. $675,126$ triệu đồng

Câu 32. Giá trị $\sqrt[7]{{3\sqrt[5]{{3\sqrt[3]{3}}}}}$ viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

A. ${3^{\frac{{17}}{{105}}}}$

B. ${3^{\frac{{19}}{{105}}}}$

C. ${3^{\frac{1}{{105}}}}$

D. ${3^{\frac{4}{{105}}}}$

Câu 33. Xác định $m$ để đường thẳng $d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{3}$ cắt mặt phẳng $\left( P \right):x + my - z + 1 = 0$.

A. Với mọi giá trị của $m$

B. $m \ne 1$

C. $m \ne 0$

D. $m \ne - 1$

Câu 34. Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {x^2} - 2x + 2y - 4z - 10 = 0$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x + y - z - 5 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo đường tròn có bán kính bằng một nửa bán kính mặt cầu $\left( S \right).$

A. $\left( {{Q_1}} \right):2x + y - z + 1 + 6\sqrt 2 = 0$ và $\left( {{Q_2}} \right):2x + y - z + 1 - 6\sqrt 2 = 0$

B. $\left( {{Q_1}} \right):2x + y - z + 2\sqrt 3 = 0$ và $\left( {{Q_2}} \right):2x + y - z - 2\sqrt 3 = 0$

C. $\left( {{Q_1}} \right):2x + y - z + 1 + 2\sqrt 3 = 0$ và $\left( {{Q_2}} \right):2x + y - z + 1 - 2\sqrt 3 = 0$

D. $\left( {{Q_1}} \right):2x + y - z - 1 + 6\sqrt 2 = 0$ và $\left( {{Q_2}} \right):2x + y - z - 1 - 6\sqrt 2 = 0$

Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x - y - z + 1 = 0$ và $\left( Q \right):2x + 3y - z = 0$. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng giao tuyến $\Delta$ của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Chọn khẳng định sai.

A. $\frac{x}{{ - 4}} = \frac{{y - \frac{1}{4}}}{1} = \frac{{z - \frac{3}{4}}}{{ - 5}}$

B. $\frac{{x + \frac{3}{5}}}{4} = \frac{{y - \frac{2}{5}}}{{ - 1}} = \frac{z}{5}$

C. $\frac{{x - 1}}{4} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{5}$

D. $\frac{x}{4} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{5}$

Câu 36. Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {1;1;1} \right)$ và có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow u \left( {1;0; - 1} \right)$ có phương trình là

A. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = 1\\ z =- 1 + t \end{array} \right.$

B. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = 1\\ z = 1 + t \end{array} \right.$

C. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 1\\ z = 1 + t \end{array} \right.$

D. $\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + t\\ y = 1\\ z = 1 - t \end{array} \right.$

Câu 37. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $A\left( {1;1;2} \right)$, $B\left( { - 4;2;1} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):2x - 5y + 1 = 0$ có phương trình là

A. $- 5x + 2y + 23z - 43 = 0$

B. $- 5x - 2y + 23z - 39 = 0$

C. $5x - 2y + 23z - 49 = 0$

D. $- 5x - 2y + 23z - 41 = 0$

Câu 38. Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):x - y = 1$ có một véctơ chỉ phương là

A. Không tìm được véctơ chỉ phương của $d$

B. $\left( {1; - 1;0} \right)$

C. $\left( { - 1;1;1} \right)$

D. $\left( {1; - 1;1} \right)$

Câu 39. Cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ cắt hai mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + z = 0$ và $\left( Q \right):x - z - 2 = 0$ theo các đường tròn giao tuyến với bán kính ${r_1}$ và ${r_2}.$ Khi đó tỉ số $\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}$ bằng

A. $\frac{{\sqrt 7 }}{3}$

B. $\sqrt {\frac{3}{7}}$

C. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$

D. $\sqrt {\frac{3}{5}}$

Câu 40. Biết rằng đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = t\\ z = - 1 - t \end{array} \right.$ là tiếp tuyến của mặt cầu tâm $I\left( {0;0;1} \right)$. Bán kính $R$ của mặt cầu đó là

A. $\frac{{2\sqrt {53} }}{{11}}$

B. $\frac{{2\sqrt 6 }}{{11}}$

C. $\frac{{3\sqrt 2 }}{{11}}$

D. $\frac{{2\sqrt {66} }}{{11}}$

Câu 41. Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} - m.$ Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó tạo thành một tam giác vuông cân.

A. $m = - 1$

B. $m = 0$

C. $m = 1$

D. $m = \sqrt[3]{2}$

Câu 42. Đồ thị hàm số $y = \left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} + 1$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. $2$

B. $4$

C. $3$

D. $1$

Câu 43. Cho đồ thị hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ đạt cực đại tại $A\left( {0;3} \right)$ và đạt cực tiểu tại $B\left( {1; - 3} \right)$. Tính giá trị của biểu thức $P = a + 3b + 2c.$

A. $- 12$

B. $- 9$

C. $0$

D. $- 24$

Câu 44. Một nhà sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích là $20$lít. Cần phải thiết kế thùng sơn đó với bán kính nắp đậy là bao nhiêu $\left( {cm} \right)$ để nhà sản xuất tiết kiện được vật liệu nhất?

A. $\frac{{200}}{\pi }$

B. $\frac{{200}}{{\sqrt \pi }}$

C. $\sqrt[3]{{\frac{{10000}}{\pi }}}$

D. $\frac{{100}}{{\sqrt[3]{\pi }}}$

Câu 45. Cho hàm số $y = - {x^3} - 3{x^2} + 4$ có đồ thị $\left( C \right)$ là hình vẽ dưới đây. Với giá trị nào của $m$ thì phương trình ${x^3} + 3{x^2} + m = 0\,\,\,\,\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt?

A. $m = - 2$ hoặc $m = 4$

B. $m = 0$ hoặc $m = 4$

C. $m = - 4$ hoặc $m = 0$

D. $m = 0$ hoặc $m = 6$

Câu 46. Hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên khoảng $K$ và có đạo hàm $f'\left( x \right)$ trên $K.$ Biết hình vẽ sau đây là của đồ thị hàm số $f'\left( x \right)$ trên $K.$

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x = 1$

B. Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị

C. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 0$

D. Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$đạt cực tiểu tại $x = - 2$

Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y = \frac{{mx + 2m + 1}}{{x - m}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right).$

A. $m \in$$\mathbb{R}$$\backslash \left\{ { - 1} \right\}$

B. $m \in$$\mathbb{R}$

C. $m \in \left( { - \infty ;0} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}$

D. $m \in \left( {0; + \infty } \right)$

Câu 48. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + {e^{2x}}$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ là

A. $1 + 2{e^2}$

B. $0$

C. $1 + {e^2}$

D. $1$

Câu 49. Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}$. Chọn khẳng định đúng

A. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

B. Hàm số có duy nhất một cực trị

C. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng thuộc tập xác định

D. Đồ thị hàm số có đường tiện cận ngang là $x = 2$

Câu 50. Cho hàm số $y = {x^4} - 4{x^2} - 1$. Gọi ${h_1},\,\,{h_2}$ lần lượt là khoảng cách từ hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số đến trục hoành. Khi đó tỷ số $\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}}$ bằng

A. $- \frac{1}{5}$

B. $\frac{1}{5}$

C. $5$

D. $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$

Chu Huyền (Tổng hợp)