Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng left( P right):x - y - z + 1

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một VTPT $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)$, $\left( Q \right)$ có một VTPT $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;3; - 1} \right)$.
$\left\{ \begin{array}{l} \Delta \bot \left( P \right)\\ \Delta \bot \left( Q \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow u \bot \overrightarrow {{n_P}} \\ \overrightarrow u \bot \overrightarrow {{n_Q}} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {4; - 1;5} \right)$.
Gọi $A \in \Delta \Rightarrow$ tọa độ của A thỏa mãn hệ PT $\left\{ \begin{array}{l} x - y - z + 1 = 0\\ 2x + 3y - z = 0 \end{array} \right. \Rightarrow$ chọn $A\left( {1;0;2} \right)$
Phương trình chính tắc của đường thẳng giao tuyến $\Delta$ là $\frac{{x - 1}}{4} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{5}$.
Chọn $A\left( { - \frac{3}{5};\frac{2}{5};0} \right) \Rightarrow \Delta : \frac{{x + \frac{3}{5}}}{4} = \frac{{y - \frac{2}{5}}}{{ - 1}} = \frac{z}{5};$
Chọn $A\left( {0;\frac{1}{4};\frac{3}{4}} \right) \Rightarrow \Delta :\frac{x}{{ - 4}} = \frac{{y - \frac{1}{4}}}{1} = \frac{{z - \frac{3}{4}}}{{ - 5}}$.