Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAD là tam giác

Gọi $H$,$M$ lần lượt là là trung điểm của $AD$, $BC$, suy ra $SH \bot AD$, mà $\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$.
Ta có $AD//\left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {AD,SC} \right) = d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right)$
Trong tam giác $SHM$ kẻ $HK \bot SM$ tại $K.$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot HM\\
BC \bot SH
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right)$
Suy ra $d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = HK.$
$\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.$