Cho hàm số fleft( x right) = 2mx + ln x. Tìm m để nguyên hàm Fleft( x right) của

Ta có $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2mx + \ln x} \right)dx} = m{x^2} + \int {\ln xdx} $
Tính $\int {\ln xdx} :$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{x}dx\\
v = x
\end{array} \right.$
Suy ra $\int {\ln xdx} = x\ln x - \int {dx} = x\ln x - x$
Vậy $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = m{x^2} + x\ln x - x + C$
$\left\{ \begin{array}{l}
F\left( 1 \right) = 0\\
F\left( 2 \right) = 2 + 2\ln 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m - 1 + C = 0\\
4m + 2\ln 2 - 2 + C = 2 + 2\ln 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + C = 1\\
4m + C = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 1\\
C = 0
\end{array} \right..$