Đề ôn luyện thi THPT Quốc gia môn Toán số 3

Câu 1. Phần thực của số phức ${\rm{w}} = 1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^3} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{1999}}$ bằng

A. $0$

B. $1$

C. $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$

D. $\frac{1}{2}$

Câu 2. Số phức $z$ thỏa mãn $\left( {2 + 3i} \right)\overline z + \left( {1 - i} \right)z = 3 + 5i$. Tìm môđun của số phức $z$.

A. $\frac{{23}}{{11}}$

B. $\frac{{\sqrt {610} }}{{11}}$

C. $11$

D. $9$

Câu 3. Cho số phức $z = a + bi$ $a,\,\,b \in $ $\mathbb{R}$. Nhận xét nào sau đây luôn đúng?

A. $\left| z \right|\sqrt 2 \ge \left| a \right| + \left| b \right|$

B. $\left| z \right| \ge \sqrt 2 a + b$

C. $\left| z \right|\sqrt 2 \le \left| a \right| + \left| b \right|$

D. $\left| z \right| \ge \sqrt 2 \left| a \right| + \left| b \right|$

Câu 4. Cho ba điểm $A,\,\,B,\,\,M$ lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức $ - 2,\,\,4i,\,\,x + 2i$. Với giá trị nào của $x$ thì $A,\,\,B,\,\,M$ thẳng hàng.

A. $x = 1$

B. $x = - 1$

C. $x = - 3$

D. $x = - 3$

Câu 5. Cho $z = 1 + 2i$, số phức $z'$ đối xứng với số phức $z$ qua gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$ là

A. $z' = 2i$

B. $z' = - 1 - 2i$

C. $z' = 1 - 2i$

D. $z' = - 1 + 2i$

Câu 6. Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đó. Tính xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật.

A. $\frac{{37}}{{4845}}$

B. $\frac{3}{{323}}$

C. $\frac{6}{{323}}$

D. $\frac{{23}}{{4845}}$

Câu 7. Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x}}{{7x}}$ với $x \ne 0$. Phải bổ sung thêm giá trị $f\left( 0 \right)$ bằng bao nhiêu thì hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$?

A. $ - \frac{4}{7}$

B. 0

C. $\frac{4}{7}$

D. $\frac{1}{7}$

Câu 8. Từ các chữ số $A = \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và số đó chia hết cho 3?

A. 2160

B. 1080

C. 1120

D. 1980

Câu 9. Số nghiệm của phương trình $\tan \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 $ thuộc đoạn $\left[ {\frac{\pi }{2};2\pi } \right]$ là

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Câu 10. Cho tam giác vuông cân $ABC$ với $AB = AC = a.$ Khi quay tam giác đó (cùng với phần trong của nó) quanh đường thẳng đi qua $B$ và song song với $AC$, ta được khối tròn có thể tích bằng

A. $\frac{{2\pi {a^3}}}{3}$

B. $\frac{{2\pi {a^3}}}{5}$

C. $\frac{{\pi {a^3}}}{2}$

D. $\frac{{\pi {a^3}}}{3}$

Câu 11. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ cùng vuông góc với đáy, $AB = a,\,\,AD = 2a.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$ bằng $a\sqrt 3 .$ Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

A. $\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}$

B. $\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}$

C. $\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}$

D. $\frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}$

Câu 12. Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ cùng ngoại tiếp một hình lập phương bằng

A. $\sqrt 3 $

B. $\pi $

C. $2\sqrt 3 $

D. $\frac{{\sqrt 3 a}}{2}$

Câu 13. Cho hình chóp $S.ABC$ có $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB = BC = 2a$, $\widehat {SAB} = \widehat {SCB} = {90^o}.$ Và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $a\sqrt 2 $. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp $S.ABC$ theo $a$.

A. $6\pi {a^2}$

B. $4\pi {a^2}$

C. $3\pi {a^2}$

D. $12\pi {a^2}$

Câu 14. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$ , $AD = 2a,\,\,AB = BC = a,\,\,SA$ vuông góc với đáy, $SB$ tạo với đáy một góc ${30^o}.$ Tính tỉ số thể tích $\frac{{{V_{SABD}}}}{{{V_{SBCD}}}}?$

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $2$

D. $3$

Câu 15. Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương là $96c{m^2}$. Thể tích của hình lập phương đó là

A. $27c{m^3}$

B. $64c{m^3}$

C. $8c{m^3}$

D. $125c{m^3}$

Câu 16. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,\,\,AB = 2a,\,\,AC = 2a$. Hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là trung điểm $H$ của cạnh $AB$. Cạnh bên $SC$ hợp với đáy $\left( {ABC} \right)$ một góc ${45^o}.$ Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là

A. $\frac{{2\sqrt 5 a}}{{\sqrt {11} }}$

B. $\frac{{\sqrt 5 a}}{{\sqrt {11} }}$

C. $\frac{{\sqrt 3 a}}{{\sqrt {11} }}$

D. $\frac{{2\sqrt 3 a}}{{\sqrt {11} }}$

Câu 17. Số lượng một loại vi khuẩn gây bệnh có trong cơ thể của một người sau thời gian $t$ (ngày) là $f\left( t \right)$, trong đó $f'\left( t \right) = \frac{{10000}}{{3t + 1}}.$ Một người mắc bệnh do vi khuẩn gây ra. Khi đi khám lần thứ nhất, trong cơ thể của người này có $1000$ con vi khuẩn nhưng lúc này cơ thể chưa phát bệnh. Biết rằng nếu trong cơ thể người đó có trên $12000$ con vi khuẩn thì người này sẽ ở tình trạng nguy hiểm. Hỏi sau $10$ ngày người đó đi khám lại thì trong cơ thể của họ có đang trong tình trạng nguy hiểm không, nếu có thì số lượng vi khuẩn vượt ngưỡng an toàn là bao nhiêu con?

A. Có, $446$ con

B. Có, $223$ con

C. Không

D. Có, $334$ con

Câu 18. Tính giá trị biểu thức $A = \frac{{2I + 1}}{{I + 3}}$ biết $I = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| x \right|} dx$.

A. $\frac{{12}}{{11}}$

B. $\frac{5}{2}$

C. $\frac{{11}}{{12}}$

D. $\frac{2}{5}$

Câu 19. Hàm số $f\left( x \right) = {e^x}\cos x$ có một nguyên hàm $F\left( x \right)$ là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng $\frac{3}{2}$ khi $x = 0.$

A. $F\left( x \right) = \frac{{\cos x.{e^x} - \sin x.{e^x}}}{2} + 1$

B. $F\left( x \right) = \frac{{\cos x.{e^x} + \sin x.{e^x}}}{2} + 1$

C. $F\left( x \right) = \frac{{\sin x.{e^x} - \cos x.{e^x}}}{2} + 2$

D. $F\left( x \right) = \frac{{\cos x{e^x}}}{2} + 1$

Câu 20. Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$. Diện tích hình phẳng (phần tô màu) là

A. $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} $

B. $3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} $

C. $\int\limits_1^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} $

D. $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} $

Câu 21. Cho hình phẳng $\left(H \right)$ giới hạn bởi các đường $y=sqrt{x}$, y=-x và x=3 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $\left(H \right)$ quanh trục hoành.

A. $\frac{{9\pi }}{2}$

B. $3\pi $

C. $\frac{{29\pi }}{6}$

D. $4\pi $

Câu 22. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3} + 2x + 1$ $\left( C \right)$ , tiếp tuyến của đồ thị tại $x = 1$ và đường thẳng $x = 0$, thuộc góc phần tư thứ $\left( I \right),\,\,\left( {IV} \right)$ là

A. $\frac{3}{4}$

B. $3$

C. $4$

D. $\frac{5}{2}$

Câu 23. Tìm giá trị của $a$ để $I = \int\limits_0^a {\frac{{5x + 7}}{{{x^2} + 3x + 2}}dx} = 3\ln 2 + 2\ln 3.$

A. $a = 3$

B. $a = \frac{3}{2}$

C. $a = 2$

D. $a = 1$

Câu 24. Một đàn ong có số lượng là ${5.10^3}$ thành viên. Biết mỗi năm, số lượng thành viên của đàn ong tăng $2\% $ so với năm trước. Hỏi sau $5$ năm, số lượng thành viên của đàn ong là bao nhiêu?.

A. ${5.10^3}{.1,12^5}$(thành viên)

B. ${5.10^3}\left( {1 + {{0,02}^5}} \right)$ (thành viên)

C. ${5.10^3} + {1,02^5}$ (thành viên)

D. ${5.10^3}{.1,02^5}$ (thành viên)

Câu 25. Cho ${2^x} = 3.$ Tính $A = {8^x} + {4^{x - 2}}.$

A. $\frac{{441}}{16}$

B. $35$

C. $\frac{{115}}{4}$

D. $32$

Câu 26. Đặt $a = {\log _7}11,\,\,b = {\log _2}7.$ Biểu diễn ${\log _{\sqrt 7 }}\frac{{121}}{8} = ma + \frac{n}{b}.$, tính tổng ${m^2} + {n^2}.$

A. $5$

B. $52$

C. $\frac{{13}}{4}$

D. $ - 5$

Câu 27. Cho $x > 0,\,\,x \ne 1$ thỏa mãn biểu thức $\frac{1}{{{{\log }_2}x}} + \frac{1}{{{{\log }_3}x}} + ... + \frac{1}{{{{\log }_{1993}}x}} = M.$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. $x = {1993^M}$

B. $x = \sqrt[{1993}]{{\frac{{1993!}}{M}}}$

C. $x = \sqrt[M]{{1993!}}$

D. $x = \frac{{1993!}}{M}$

Câu 28. Cho hàm số $y = x - {e^x}.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$

B. Hàm số có tập xác định là $\left( {0; + \infty } \right)$

C. Hàm số không có cực trị

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$

Câu 29. Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt {{{\log }_x}{{\left( {x - 2} \right)}^2} - 1} $.

A. $x \ne 2$

B. $x > 2$

C. $x \ge 0,\,\,x \ne 1$

D. $x \ge 4$

Câu 30. Gọi ${x_1},\,\,{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${4^x} - {5.2^x} + 4 = 0$. Tính giá trị ${x_1}^2 + {x_2}^2.$

A. $9$

B. $2$

C. $4$

D. $8$

Câu 31. Cho $0 < a < 1,\,\,0 < x < y.$ Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. ${\log _a}x > {\log _a}y$

B. $\lg a > 0$

C. ${a^x} < {a^y}$

D. $\ln a > 0$

Câu 32. Cho hai đường thẳng $d:x + y - 1 = 0$ và $d':x + y - 5 = 0$. Phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow u $ biến đường thẳng d thành d’. Khi đó, độ dài bé nhất của $\overrightarrow u $ là bao nhiêu?

A. $4\sqrt 2 $

B. $2\sqrt 2 $

C. $5$

D. $\sqrt 2 $

Câu 33. Tìm véctơ $\overrightarrow u $ biết rằng véctơ $\overrightarrow u $ vuông góc với véctơ $\overrightarrow a = \left( {1; - 2;1} \right)$ và thỏa mãn $\overrightarrow u .\overrightarrow b = - 1;\,\,\overrightarrow u .\overrightarrow c = - 5$ với $\overrightarrow b = \left( {4; - 5;2} \right),\,\,\overrightarrow c = \left( {8;4; - 5} \right).$

A. $\overrightarrow u = \left( {1;3;5} \right)$

B. $\overrightarrow u = \left( {5;3;1} \right)$

C. $\overrightarrow u = \left( {3; - 5;1} \right)$

D. $\overrightarrow u = \left( { - 1;3;5} \right)$

Câu 34. Tìm tọa độ điểm đối xứng của $M\left( {22; - 15;7} \right)$ qua gốc tọa độ $O$.

A. $\left( {22;15;7} \right)$

B. $\left( {22; - 15; - 7} \right)$

C. $\left( { - 22;15;7} \right)$

D. $\left( { - 22;15; - 7} \right)$

Câu 35. Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z + 5 = 0$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,\,3x - 2y + 6z + m = 0$. $\left( S \right)$ và $\left( P \right)$ giao nhau khi

A. $m > 3$ hoặc $m < 2$

B. $ - 5 \le m \le 9$

C. $2 \le m \le 3$

D. $m > 9$ hoặc $m < - 5$

Câu 36. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + z - 3 = 0$ và $\left( Q \right):x - 3y + z - 4 = 0$.

A. $d:\left\{ \begin{array}{l}
x = - t\\
y = - 1\\
z = 1 - t
\end{array} \right.$

B. $d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = - 1 + t\\
z = 1 - t
\end{array} \right.$

C. $d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = - 1\\
z = 1 - t
\end{array} \right.$

D. $d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = - t\\
z = 1 - t
\end{array} \right.$

Câu 37. Viết phương trình mặt phẳng song song với $\left( P \right):\,\,6x - 2y + 3z + 7 = 0$ và tiếp xúc với mặt cầu ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y + 2z - 1 = 0.$

A. $6x - 2y + 3z - 8 = 0$

B. $6x - 2y + 3z - 5 = 0$

C. $6x - 2y + 3z - 7 = 0$

D. $6x - 2y + 3z - 3 = 0$

Câu 38. Trong không gian $Oxyz$ cho các đường thẳng
${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 3z + 1 = 0\\
2x - 3y + z + 1 = 0
\end{array} \right.$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + at\\
y = - 1 + 2t\\
z = 3 - 3t
\end{array} \right.$
Trong đó $t$ là tham số, $a$ là một số thực cho trước. Xác định $a$ để tồn tại mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa ${d_1}$ và vuông góc với ${d_2}.$

A. $a = - 1$

B. $a = 1$

C. $a = - 2$

D. $a = 2$

Câu 39. Cho $M\left( {2; - 5;7} \right)$. Tìm tọa độ điểm đối xứng của $M$ qua mặt phẳng $Oxy$.

A. $M'\left( { - 2;5;7} \right)$

B. $M'\left( {2;5;7} \right)$

C. $M'\left( { - 2;5; - 7} \right)$

D. $M'\left( {2; - 5; - 7} \right)$

Câu 40. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ qua $A\left( {0;1;0} \right)$ và cắt cả hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{1}$; ${d_2}\left\{ \begin{array}{l}
x + z - 3 = 0\\
y - z = 0
\end{array} \right.$ .

A. $\left\{ \begin{array}{l}
3x + y - 2z - 1 = 0\\
x + 3y - 2z - 3 = 0
\end{array} \right.$

B. $\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 2z - 1 = 0\\
x + 3y - 2z - 3 = 0
\end{array} \right.$

C. $\left\{ \begin{array}{l}
y - 2z - 1 = 0\\
x + 3y - 2z - 3 = 0
\end{array} \right.$

D. $\left\{ \begin{array}{l}
y - 2z - 1 = 0\\
x + 3y - 3 = 0
\end{array} \right.$

Câu 41. Cho hàm số phù hợp với bảng biến thiên sau. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$ và đạt cực đại tại $x = 2$

B. Giá trị cực đại của hàm số là $ - 1$

C. Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ và đạt cực tiểu tại $x = 0$

D. Giá trị cực tiểu của hàm số là $0$

Câu 42. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2{x^2} - 3 + m$ cắt trục hoành tại $4$ nghiệm phân biệt.

A. $m > 3$

B. $3 < m < 4$

C. $m \le 4$

D. $m < 4$

Câu 43. Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y = {x^3} + m{x^2} + 1$ đồng biến trong khoảng $\left( {1;2} \right)$?

A. $ - \frac{3}{2} < m \le 0$

B. $m \ge - \frac{3}{2}$

C. $m \ge 0$

D. $m > 0$

Câu 44. Bảng biến thiên sau phù hợp với hàm số nào?

A. ${x^4} - 3{x^2} + 1$

B. $ - {x^4} - 2{x^2}$

C. ${x^4} - 2{x^2}$

D. $ - {x^4} - 2{x^2} + 2$

Câu 45. Hình vẽ sau đây giống đồ thị của hàm số nào nhất?

A. $\frac{{x + 2}}{{2x - 2}}$

B. $\frac{{x - 3}}{{2x - 2}}$

C. $\frac{{x + 1}}{{2x - 2}}$

D. $\frac{{x - 1}}{{2x + 2}}$

Câu 46. Một nóc tòa nhà cao tầng có dạng hình nón. Người ta muốn xây một bể nước có dạng một hình trụ nội tiếp trong hình nón để chứa nước (như hình vẽ minh họa). Cho biết $SO = h;\,\,\,OB = R;\,\,OH = x\,\,\left( {0 < x < h} \right).$ Tìm thể tích lớn nhất của hình trụ.

A. $\frac{{2\pi {R^2}h}}{{27}}$

B. $\frac{{4\pi {R^2}h}}{{27}}$

C. $\frac{{2\pi {R^2}h}}{9}$

D. $\frac{{4\pi {R^2}h}}{9}$

Câu 47. Cho hàm số $y = \frac{{2x}}{{x + 1}}$. Tìm điểm $M$ thuộc đồ thị $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ cắt $Ox$ và $Oy$ tại hai điểm $A,\,\,B$ và $\Delta OAB$ có diện tích bằng $\frac{1}{4}.$

A. $M\left( {1;1} \right)$ hoặc $M\left( { - \frac{1}{2}; - 2} \right)$

B. $M\left( {3;\frac{3}{2}} \right)$

C. $M\left( {\frac{1}{2};\frac{2}{3}} \right)$

D. $M\left( {2;\frac{4}{3}} \right)$

Câu 48. Với giá trị nào của $m$ thì điểm $A\left( {1;2} \right)$ và hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + m$ thẳng hàng?

A. $m = \frac{1}{2}$

B. $m = 4$

C. $m = 2$

D. $m = 3$

Câu 49. Đồ thị hàm số $y = {x^4} - 3{x^2} + ax + b$ có điểm cực tiểu $A\left( {2; - 2} \right)$. Tìm tổng $\left( {a + b} \right).$

A. $20$

B. $14$

C. $ - 14$

D. $ - 34$

Câu 50. Đồ thị hàm số $y = \frac{{3{x^2} - 4x + 1}}{{x - 1}}$

A. Không có tiệm cận

B. Có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên

C. Có tiệm cận đứng

D. Có tiệm cận ngang

Chu Huyền (Tổng hợp)