Hàm số fleft( x right) = excos x có một nguyên hàm Fleft( x right) là kết quả

Đặt $u = \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx.$
Đặt ${e^x}dx = dv \Rightarrow v = \int {{e^x}dx} = {e^x}.$
$F\left( x \right) = \cos x.{e^x} + \int {{e^x}\sin xdx} + C$
Tiếp tục tính $\int {{e^x}\sin xdx}$
Đặt $u = {\mathop{\rm sinx}\nolimits} \Rightarrow du = cosxdx$
Đặt ${e^x}dx = dv \Rightarrow v = {e^x}.$
$\int {{e^x}\sin xdx} = \sin x.{e^x} - \int {{e^x}\cos xdx} .$
Vậy
$\begin{array}{l} F\left( x \right) = \cos x.{e^x} + \sin x.{e^x} - \int {{e^x}\cos x} dx + C\\ \Leftrightarrow \int {{e^x}\cos x} dx = \cos x.{e^x} + \sin x.{e^x} - \int {{e^x}\cos x} dx + C\\ \Leftrightarrow 2.\int {{e^x}\cos x} dx = \cos x.{e^x} + \sin x.{e^x} + C\\ \Leftrightarrow F\left( x \right) = \frac{{\cos x.{e^x} + \sin x.{e^x}}}{2} + C \end{array}$
Ta có $F\left( 0 \right) = \frac{{\cos 0.{e^0} + \sin 0.{e^0}}}{2} + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = 1.$