Trong không gian Oxyz cho các đường thẳng d_1:left beginarrayl x + 2y - 3z + 1

Ta có véctơ chỉ phương của ${d_1}$ là $\overrightarrow a = \left[ {\left( {1;2; - 3} \right),\left( {2; - 3;1} \right)} \right] = \left( {1;1;1} \right)$, véctơ chỉ phương của ${d_2}$ là $\overrightarrow b = \left( {a;2; - 3} \right)$.
Để có mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa ${d_1}$ và vuông góc với ${d_2}$, điều kiện cần và đủ là
$\begin{array}{l} {d_1} \bot {d_2} \Leftrightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \\ \Leftrightarrow \left( {1;1;1} \right).\left( {a;2; - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow a + 2 - 3 = 0\\ \Leftrightarrow a = 1. \end{array}$