Một nóc tòa nhà cao tầng có dạng hình nón. Người ta muốn xây một bể nước có dạng

Ta có
$\begin{array}{l}
\frac{{SH}}{{SO}} = \frac{{SC}}{{SB}}\\
\Rightarrow SC = \frac{{SH.SB}}{{SO}} = \frac{{\left( {h - x} \right)\sqrt {{R^2} + {h^2}} }}{h}\\
\Rightarrow HC = S{C^2} - S{H^2} = \frac{{{R^2} + {h^2}}}{{{h^2}}}{\left( {h - x} \right)^2} - {\left( {h - x} \right)^2}.
\end{array}$
Ta có ${V_{tru}} = \pi .H{C^2}.OH = \pi \left( {\frac{{{h^2} + {R^2}}}{{{h^2}}} - 1} \right){\left( {h - x} \right)^2}.x.$
$V'\left( x \right) = \pi \left( {\frac{{{h^2} + {R^2}}}{{{h^2}}} - 1} \right)\left( {3{x^2} - 4hx + {h^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{h}{3}.$
Vậy thể tích lớn nhất của hình trụ là ${V_{tru\left( {\max } \right)}} = \pi \left( {\frac{{{h^2} + {R^2}}}{{{h^2}}} - 1} \right){\left( {h - \frac{h}{3}} \right)^2}.\frac{h}{3} = \pi .\frac{{{R^2}}}{{{h^2}}}.\frac{{4{h^2}}}{9}.\frac{h}{3} = \frac{{4\pi {R^2}h}}{{27}}.$