Phần thực của số phức rmw = 1 + left( 1 + i right) + left( 1 + i right)2 + left(

${\rm{w}} = 1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^3} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{1999}} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{2000}} - 1}}{{1 + i - 1}} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{2000}} - 1}}{i}$
Ta có
$\begin{array}{l} {\left( {1 + i} \right)^{2000}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{2000}}{\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)^{2000}} = {2^{1000}}\left( {\cos 500\pi + i\sin 500\pi } \right) = {2^{1000}}\\ \Rightarrow {\rm{w}} = \frac{{{2^{1000}} - 1}}{i} = \frac{{\left( {{2^{1000}} - 1} \right).\left( { - i} \right)}}{{ - {i^2}}} = \left( {1 - {2^{1000}}} \right)i. \end{array}$