Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 + 2x + 1 left( C right) ,

Ta có $y' = 3{x^2} + 2.$ Phương trình đường tiếp tuyến tại $x = 1$ là
$\Delta :$ $y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + y\left( 1 \right) = 5\left( {x - 1} \right) + 4 = 5x - 1.$
Hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $\Delta $ là nghiệm của phương trình
$\begin{array}{l}
{x^3} + 2x + 1 = 5x - 1\\
\Leftrightarrow {x^3} - 3x + 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 2\\
x = 1
\end{array} \right..
\end{array}$
Diện tích hình phẳng cần tìm là
$\int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - 3x + 2} \right| = \frac{3}{4}.} $