Câu 9. Trong các số phức z thoả mãn |z - 3 + 4i| = 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của |z|
đáp án Bài toán cực trị của số phức với các dạng câu hỏi quen thuộc
| Câu | Đáp án | Câu | Đáp án |
|---|---|---|---|
| Câu 1 | Gọi $z = x + yi\,\,\,\,\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$. $\left| {z + 1 - 5i} \right| = \left| {\overline z + 3 - i} \right| \Leftrightarrow \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 5)}^2}} = \sqrt {{{(x + 3)}^2} + {{(y + 1)}^2}} $ $ \Leftrightarrow x + 3y - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4 - 3y$. $\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{{(4 - 3y)}^2} + {y^2}} = \sqrt {10{y^2} - 24y + 16} = \sqrt {10{{\left( {y - \dfrac{6}{5}} \right)}^2} + \dfrac{8}{5}} \ge \dfrac{{2\sqrt {10} }}{5}$. Đẳng thức xảy ra khi $y = \dfrac{6}{5} \Rightarrow x = \dfrac{2}{5}$. Vậy $\left| z \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{{2\sqrt {10} }}{5}$ khi $z = \dfrac{2}{5} + \dfrac{6}{5}i$. Vậy $z = \dfrac{2}{5} + \dfrac{6}{5}i$ là số phức cần tìm. |
Câu 9 | Gọi $z = x + yi\,\,\,\,\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$. $\left| {z + 1 - 5i} \right| = \left| {\overline z + 3 - i} \right| \Leftrightarrow \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 5)}^2}} = \sqrt {{{(x + 3)}^2} + {{(y + 1)}^2}} $ $ \Leftrightarrow x + 3y - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4 - 3y$. $\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{{(4 - 3y)}^2} + {y^2}} = \sqrt {10{y^2} - 24y + 16} = \sqrt {10{{\left( {y - \dfrac{6}{5}} \right)}^2} + \dfrac{8}{5}} \ge \dfrac{{2\sqrt {10} }}{5}$. Đẳng thức xảy ra khi $y = \dfrac{6}{5} \Rightarrow x = \dfrac{2}{5}$. Vậy $\left| z \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{{2\sqrt {10} }}{5}$ khi $z = \dfrac{2}{5} + \dfrac{6}{5}i$. Vậy $z = \dfrac{2}{5} + \dfrac{6}{5}i$ là số phức cần tìm. |
| Câu 2 | Điều kiện: $z \ne 1 - 2i$. Gọi $z = x + yi\,\,\,\,\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}_ + ^*} \right)$. $\left| {\dfrac{{z - 3}}{{z - 1 + 2i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {z - 3} \right|}}{{\left| {z - 1 + 2i} \right|}} = 1 \Leftrightarrow \left| {z - 3} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right|$. $\sqrt {{{(x - 3)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 2)}^2}} \Leftrightarrow x + y = 1$. (luôn thoả mãn điều kiện vì $x = 1;y = - 2$ không thoả mãn phương trình) $\bar z = x - yi\,\,\, \Rightarrow {z^2} - {\bar z^2} = 4xy.i\,\,\,\, \Rightarrow \left| {{z^2} - {{\bar z}^2}} \right| = 4xy$(vì $x;y$ không âm) $\left( {{z^2} - {{\bar z}^2}} \right).i = - \,4xy\,\,\, \Rightarrow \left| {{z^2} - {{\bar z}^2}} \right| = 4xy$ $z(1 - i) + \bar z(1 + i) = 2x + 2y$ Do đó $P = 16{x^2}{y^2} + 4xy.(2x + 2y) = 16{x^2}{y^2} + 8xy$. Đặt $t = xy \Rightarrow 0 \le t \le {\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}$, ta có $P = 16{t^2} + 8t;t \in \left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]$. + Xét hàm số $f(t) = 16{t^2} + 8t$ liên tục trên $\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]$. $f'(t) = 32t + 8t;f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0 \vee t = - \dfrac{1}{4}$(loại) $f(0) = 0;f\left( {\dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{{33}}{{16}} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]} f(t) = \dfrac{{33}}{{16}} \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{4};\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]} f(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0$ Khi $t = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = y = \dfrac{1}{2};\,\,{\rm{Khi}}\,t = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0;y = 1\\x = 1;y = 0\end{array} \right.$ Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{{33}}{{16}}\,\,{\rm{khi}}\,\,z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i$. P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $0\,\,{\rm{khi}}\,\,z = 1 \vee z = 0$. Nhận xét: Bài tập này cũng có thể giải được bằng cách rút $y = 1 - x$ và thế vào biểu thức $$ ta được hàm số $g(x) = 16{x^2}{(1 - x)^2} + 8x(1 - x)$ rồi đi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)$trên $\left[ {0;1} \right]$. |
Câu 10 | Điều kiện: $z \ne 1 - 2i$. Gọi $z = x + yi\,\,\,\,\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}_ + ^*} \right)$. $\left| {\dfrac{{z - 3}}{{z - 1 + 2i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {z - 3} \right|}}{{\left| {z - 1 + 2i} \right|}} = 1 \Leftrightarrow \left| {z - 3} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right|$. $\sqrt {{{(x - 3)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 2)}^2}} \Leftrightarrow x + y = 1$. (luôn thoả mãn điều kiện vì $x = 1;y = - 2$ không thoả mãn phương trình) $\bar z = x - yi\,\,\, \Rightarrow {z^2} - {\bar z^2} = 4xy.i\,\,\,\, \Rightarrow \left| {{z^2} - {{\bar z}^2}} \right| = 4xy$(vì $x;y$ không âm) $\left( {{z^2} - {{\bar z}^2}} \right).i = - \,4xy\,\,\, \Rightarrow \left| {{z^2} - {{\bar z}^2}} \right| = 4xy$ $z(1 - i) + \bar z(1 + i) = 2x + 2y$ Do đó $P = 16{x^2}{y^2} + 4xy.(2x + 2y) = 16{x^2}{y^2} + 8xy$. Đặt $t = xy \Rightarrow 0 \le t \le {\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}$, ta có $P = 16{t^2} + 8t;t \in \left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]$. + Xét hàm số $f(t) = 16{t^2} + 8t$ liên tục trên $\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]$. $f'(t) = 32t + 8t;f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0 \vee t = - \dfrac{1}{4}$(loại) $f(0) = 0;f\left( {\dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{{33}}{{16}} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]} f(t) = \dfrac{{33}}{{16}} \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{4};\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]} f(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0$ Khi $t = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = y = \dfrac{1}{2};\,\,{\rm{Khi}}\,t = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0;y = 1\\x = 1;y = 0\end{array} \right.$ Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{{33}}{{16}}\,\,{\rm{khi}}\,\,z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i$. P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $0\,\,{\rm{khi}}\,\,z = 1 \vee z = 0$. Nhận xét: Bài tập này cũng có thể giải được bằng cách rút $y = 1 - x$ và thế vào biểu thức $$ ta được hàm số $g(x) = 16{x^2}{(1 - x)^2} + 8x(1 - x)$ rồi đi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)$trên $\left[ {0;1} \right]$. |
| Câu 3 | Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y). Ta có$\left| {x - 2 + (y - 4)i} \right| = \left| {x + (y - 2)i} \right|$ (1) $ \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 4)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{(y - 2)}^2}} $ $ \Leftrightarrow y = - x + 4$. Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thẳng x + y = 4. Mặt khác $\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {x^2} - 8x + 16} = \sqrt {2{x^2} - 8x + 16} $ Hay $\left| z \right| = \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2 $ Do đó ${\left| z \right|_{\min }} \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = 2$. Vậy $z = 2 + 2i$. |
Câu 11 | Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y). Ta có$\left| {x - 2 + (y - 4)i} \right| = \left| {x + (y - 2)i} \right|$ (1) $ \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 4)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{(y - 2)}^2}} $ $ \Leftrightarrow y = - x + 4$. Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thẳng x + y = 4. Mặt khác $\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {x^2} - 8x + 16} = \sqrt {2{x^2} - 8x + 16} $ Hay $\left| z \right| = \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2 $ Do đó ${\left| z \right|_{\min }} \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = 2$. Vậy $z = 2 + 2i$. |
| Câu 4 | Đặt z= x+ yi (x, y $ \in R$) ta có $u = \left[ {\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right]\left[ {\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 3} \right)i} \right] = {x^2} + {y^2} + 4x - 4y + 6 + 2\left( {x - - y - 4} \right)i$ Ta có: $u \in R \Leftrightarrow x - y - 4 = 0$ Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0. M(x;y) là điểm biểu diễn của z , z có môđun nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất $ \Leftrightarrow OM \bot d$ . Tìm được M(-2;2) suy ra z= -2+2i. |
Câu 12 | Đặt z= x+ yi (x, y $ \in R$) ta có $u = \left[ {\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right]\left[ {\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 3} \right)i} \right] = {x^2} + {y^2} + 4x - 4y + 6 + 2\left( {x - - y - 4} \right)i$ Ta có: $u \in R \Leftrightarrow x - y - 4 = 0$ Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0. M(x;y) là điểm biểu diễn của z , z có môđun nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất $ \Leftrightarrow OM \bot d$ . Tìm được M(-2;2) suy ra z= -2+2i. |
| Câu 5 | Gọi $z = x + yi{\rm{ }}(x,y \in R) \Rightarrow \bar z = x - yi$. $\left| {\bar z\left. {(1 + i) - 3 + 2i} \right|} \right. = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - x - 5y + \dfrac{{39}}{8} = 0$. Gọi M (x;y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy. $ \Rightarrow M \in (C)$là đường tròn có tâm $I(\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2})$và bán kính $R = \dfrac{{\sqrt {26} }}{4}$. Gọi d là đường thẳng đi qua O và I $ \Rightarrow d:y = 5x$. Gọi M1, M2 là hai giao điểm của d và (C)$ \Rightarrow {M_1}(\dfrac{3}{4};\dfrac{{15}}{4})$ và ${M_2}(\dfrac{1}{4};\dfrac{5}{4})$. Ta thấy $\left\{ \begin{array}{l}O{M_1} > O{M_2}\\O{M_1} = OI + R \ge OM(M \in (C))\end{array} \right.$ $ \Rightarrow $ Số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay $z = \dfrac{3}{4} + \dfrac{{15}}{4}i$ . |
Câu 13 | Gọi $z = x + yi{\rm{ }}(x,y \in R) \Rightarrow \bar z = x - yi$. $\left| {\bar z\left. {(1 + i) - 3 + 2i} \right|} \right. = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - x - 5y + \dfrac{{39}}{8} = 0$. Gọi M (x;y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy. $ \Rightarrow M \in (C)$là đường tròn có tâm $I(\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2})$và bán kính $R = \dfrac{{\sqrt {26} }}{4}$. Gọi d là đường thẳng đi qua O và I $ \Rightarrow d:y = 5x$. Gọi M1, M2 là hai giao điểm của d và (C)$ \Rightarrow {M_1}(\dfrac{3}{4};\dfrac{{15}}{4})$ và ${M_2}(\dfrac{1}{4};\dfrac{5}{4})$. Ta thấy $\left\{ \begin{array}{l}O{M_1} > O{M_2}\\O{M_1} = OI + R \ge OM(M \in (C))\end{array} \right.$ $ \Rightarrow $ Số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay $z = \dfrac{3}{4} + \dfrac{{15}}{4}i$ . |
| Câu 6 | TH1: A thuộc đường tròn (T) Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I TH2: A không thuộc đường tròn (T) Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường tròn (T); Giả sử AB < AC. +) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có: $AM \ge AI - IM = AI - IB = AB$. Đẳng thức xảy ra khi $M \equiv B$ $AM \le AI + IM = AI + IC = AC$. Đẳng thức xảy ra khi $M \equiv C$ +) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có: $AM \ge IM - IA = IB - IA = AB$. Đẳng thức xảy ra khi $M \equiv B$ $AM \le AI + IM = AI + IC = AC$. Đẳng thức xảy ra khi $M \equiv C$ Vậy khi M trùng với B thì AM đạt gía trị nhỏ nhất. Vậy khi M trùng với C thì AM đạt gía trị lớn nhất. |
Câu 14 | TH1: A thuộc đường tròn (T) Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I TH2: A không thuộc đường tròn (T) Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường tròn (T); Giả sử AB < AC. +) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có: $AM \ge AI - IM = AI - IB = AB$. Đẳng thức xảy ra khi $M \equiv B$ $AM \le AI + IM = AI + IC = AC$. Đẳng thức xảy ra khi $M \equiv C$ +) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có: $AM \ge IM - IA = IB - IA = AB$. Đẳng thức xảy ra khi $M \equiv B$ $AM \le AI + IM = AI + IC = AC$. Đẳng thức xảy ra khi $M \equiv C$ Vậy khi M trùng với B thì AM đạt gía trị nhỏ nhất. Vậy khi M trùng với C thì AM đạt gía trị lớn nhất. |
| Câu 7 | Gọi d là đường thẳng đi qua I, J; d cắt đường tròn $({T_1})$ tại hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt $({T_2})$ tại hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC). Với điểm M bất khì trên $({T_1})$ và điểm N bất kì trên $({T_2})$. Ta có: $MN \le IM + IN \le IM + IJ + JN = {R_1} + {R_2} + IJ = AD$. Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D$MN \ge \left| {IM - IN} \right| \ge \left| {IJ - IM - JN} \right| = \left| {IJ - {R_1} + {R_2}} \right| = BC$. Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C. Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt giá trị lớn nhất. khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. |
Câu 15 | Gọi d là đường thẳng đi qua I, J; d cắt đường tròn $({T_1})$ tại hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt $({T_2})$ tại hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC). Với điểm M bất khì trên $({T_1})$ và điểm N bất kì trên $({T_2})$. Ta có: $MN \le IM + IN \le IM + IJ + JN = {R_1} + {R_2} + IJ = AD$. Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D$MN \ge \left| {IM - IN} \right| \ge \left| {IJ - IM - JN} \right| = \left| {IJ - {R_1} + {R_2}} \right| = BC$. Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C. Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt giá trị lớn nhất. khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. |
| Câu 8 | Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d Đoạn IH cắt đường tròn $(T)$ tại J Với M thuộc đường thẳng $\Delta $, N thuộc đường tròn $(T)$, ta có: $MN \ge IN - IM \ge IH - IJ = JH = const$. Đẳng thức xảy ra khi $M \equiv H;N \equiv I$ Vậy khi M trùng với H; N trùng với J thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. |