Cho đường tròn T cố định có tâm I bán kính R và điểm A cố định. Điểm M di động

TH1: A thuộc đường tròn (T)
Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A
AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I
TH2: A không thuộc đường tròn (T)
Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường tròn (T);
Giả sử AB < AC.
+) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có:
$AM \ge AI - IM = AI - IB = AB$.
Đẳng thức xảy ra khi $M \equiv B$
$AM \le AI + IM = AI + IC = AC$.
Đẳng thức xảy ra khi $M \equiv C$
+) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có:
$AM \ge IM - IA = IB - IA = AB$.
Đẳng thức xảy ra khi $M \equiv B$
$AM \le AI + IM = AI + IC = AC$.
Đẳng thức xảy ra khi $M \equiv C$
Vậy khi M trùng với B thì AM đạt gía trị nhỏ nhất.
Vậy khi M trùng với C thì AM đạt gía trị lớn nhất.