​Biết rằng số phức z thỏa mãn u = (z + 3 - i)(z + 1 + 3i) là một số thực

Đặt z= x+ yi (x, y $\in R$) ta có
$u = \left[ {\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right]\left[ {\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 3} \right)i} \right] = {x^2} + {y^2} + 4x - 4y + 6 + 2\left( {x -  - y - 4} \right)i$
Ta có: $u \in R \Leftrightarrow x - y - 4 = 0$
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0.
M(x;y) là điểm biểu diễn của z , z có môđun nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất $\Leftrightarrow OM \bot d$ .
Tìm được M(-2;2) suy ra  z= -2+2i.