​Trong các số phức z có phần thực, phần ảo không âm và |z - 3/z - 1 + 2i| = 1

Điều kiện: $z \ne 1 - 2i$.
Gọi $z = x + yi\,\,\,\,\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}_ + ^*} \right)$.
$\left| {\dfrac{{z - 3}}{{z - 1 + 2i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {z - 3} \right|}}{{\left| {z - 1 + 2i} \right|}} = 1 \Leftrightarrow \left| {z - 3} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right|$.
$\sqrt {{{(x - 3)}^2} + {y^2}}  = \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 2)}^2}}  \Leftrightarrow x + y = 1$.
(luôn thoả mãn điều kiện vì $x = 1;y = - 2$ không thoả mãn phương trình)
$\bar z = x - yi\,\,\, \Rightarrow {z^2} - {\bar z^2} = 4xy.i\,\,\,\, \Rightarrow \left| {{z^2} - {{\bar z}^2}} \right| = 4xy$(vì $x;y$ không âm)
$\left( {{z^2} - {{\bar z}^2}} \right).i =  - \,4xy\,\,\, \Rightarrow \left| {{z^2} - {{\bar z}^2}} \right| = 4xy$
$z(1 - i) + \bar z(1 + i) = 2x + 2y$
Do đó $P = 16{x^2}{y^2} + 4xy.(2x + 2y) = 16{x^2}{y^2} + 8xy$.
Đặt $t = xy \Rightarrow 0 \le t \le {\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}$, ta có $P = 16{t^2} + 8t;t \in \left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]$.
+ Xét hàm số $f(t) = 16{t^2} + 8t$ liên tục trên $\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]$.
$f'(t) = 32t + 8t;f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0 \vee t = - \dfrac{1}{4}$(loại)
$f(0) = 0;f\left( {\dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{{33}}{{16}} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]} f(t) = \dfrac{{33}}{{16}} \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{4};\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]} f(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0$
Khi $t = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = y = \dfrac{1}{2};\,\,{\rm{Khi}}\,t = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0;y = 1\\x = 1;y = 0\end{array} \right.$
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{{33}}{{16}}\,\,{\rm{khi}}\,\,z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i$.
P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $0\,\,{\rm{khi}}\,\,z = 1 \vee z = 0$.
Nhận xét: Bài tập này cũng có thể giải được bằng cách rút $y = 1 - x$ và thế vào biểu thức $$ ta được hàm số $g(x) = 16{x^2}{(1 - x)^2} + 8x(1 - x)$ rồi đi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)$trên $\left[ {0;1} \right]$.