Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z(z + 2 - 4i) là một số ảo, tìm số phức z

Gọi $z = x + yi\,\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$
$ \Rightarrow $$M(x;y)$ biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy
$\bar z(z + 2 - 4i) = (x - yi)\left[ {(x + 2) + (y - 4)i} \right] = x(x + 2) + y(y - 4) + \left[ {x(y + 4) - y(x + 2)} \right]i$$\bar z(z + 2 - 4i)$là một số ảo
$ \Leftrightarrow x(x + 2) + y(y - 4) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 4y = 0 \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = 5$
$ \Rightarrow $ M biểu diễn cho $z$ thuộc đường tròn (T) có tâm $I( - 1;2)$, bán kính $R = \sqrt 5 $
$\left| \omega  \right| = \left| {z - 1 - i} \right| = \left| {(x - 1) + (y - 1)i} \right| = \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2}}  = AM$ với $A(1;1)$
$IA = \sqrt 5  \Rightarrow A \in (T)$ (Bài toán được qui về Bài toán công cụ 1 - trường hợp 1)
Vì M là điểm di động trên (T) nên AM lớn nhất
$ \Leftrightarrow $AM là đường kính của (T)
$ \Leftrightarrow $ M đối xứng với A qua I
$ \Leftrightarrow $I là trung diểm của AM $ \Rightarrow M( - 3;3) \Rightarrow z =  - 3 + 3i \Rightarrow \omega  =  - 4 + 2i$
Vậy $\left| \omega  \right|$lớn nhất bằng $2\sqrt 5 $ khi $z =  - 3 + 3i$.