Trong các số phức z thoả mãn |z - 3 + 4i| = 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Cách 1
Gọi $z = x + yi\,\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow$$M(x;y)$ biểu diễn cho số phức $z$trong hệ toạ độ Oxy
$\left| {z - 3 + 4i} \right| = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 3)}^2} + {{(y + 4)}^2}}  = 4 \Leftrightarrow {(x - 3)^2} + {(y + 4)^2} = 16$
Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn (T) có tâm $I(3; - 4)$, bán kính R = 4.
$\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  = OM$;$OI = 5 > R$ nên O nằm ngoài đường tròn (T)
$\left| z \right|$lớn nhất khi OM lớn nhất, nhỏ nhất khi OM  nhỏ nhất.
(Bài toán qui về Bài toán công cụ 1- Trường hợp 2)
Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm phân biệt $A\left( {\dfrac{3}{5}; - \dfrac{4}{5}} \right);B\left( {\dfrac{{27}}{5}; - \dfrac{{36}}{5}} \right) \Rightarrow OA = 1;OB = 9$
Với M di động trên (T), ta có: $OA \le OM \le OB \Leftrightarrow 1 \le OM \le 9$$\Rightarrow 1 \le \left| z \right| \le 9$
$\Rightarrow$ OM nhỏ nhất khi M trùng với A; OM lớn nhất khi M trùng với B
Vậy $\left| z \right|$ nhỏ nhất bằng 1 khi $z = \dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{5}i$;$\left| z \right|$ lớn nhất bằng 9 khi $z = \dfrac{{27}}{5} - \dfrac{{36}}{5}i$
Cách 2
Gọi $z = x + yi\,\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$
$\Rightarrow$$M(x;y)$ biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy
$\omega  = 3 - 4i \Rightarrow$$A(3; - 4)$ biểu diễn cho số phức $\omega$
$\left| z \right| = OM;{\rm{ }}\left| \omega  \right| = OA = 5{\rm{  }} \Rightarrow \left| {z - \omega } \right| = AM$;
Theo giả thiết $\left| {z - 3 + 4i} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {z - \omega } \right| = 4 \Leftrightarrow AM = 4$.
Ta có: $\left| {OM - OA} \right| \le AM \Leftrightarrow  - 4 \le OM - OA \le 4 \Leftrightarrow  - 4 + OA \le OM \le 4 + OA \Leftrightarrow 1 \le OM \le 9$
$\Rightarrow 1 \le \left| z \right| \le 9$;$\left| z \right| = 1$ khi $z = \dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{5}i$;$\left| z \right| = 9$ khi $z = \dfrac{{27}}{5} - \dfrac{{36}}{5}i$
Vậy $\left| z \right|$ nhỏ nhất bằng 1 khi $z = \dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{5}i$;$\left| z \right|$ lớn nhất bằng 9 khi $z = \dfrac{{27}}{5} - \dfrac{{36}}{5}i$
Nhận xét: Ngoài ra bài toán trên có thể giải bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki hoặc phương pháp lượng giác hoá.