Trong các số phức z thoả mãn điều kiện |z + 1 - 5i| = |z + 3 - i|

Gọi $z = x + yi\,\,\,\,\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$.
$\left| {z + 1 - 5i} \right| = \left| {\overline z + 3 - i} \right| \Leftrightarrow \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 5)}^2}}  = \sqrt {{{(x + 3)}^2} + {{(y + 1)}^2}}$
$\Leftrightarrow x + 3y - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4 - 3y$.
$\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  = \sqrt {{{(4 - 3y)}^2} + {y^2}}  = \sqrt {10{y^2} - 24y + 16}  = \sqrt {10{{\left( {y - \dfrac{6}{5}} \right)}^2} + \dfrac{8}{5}}  \ge \dfrac{{2\sqrt {10} }}{5}$.
Đẳng thức xảy ra khi $y = \dfrac{6}{5} \Rightarrow x = \dfrac{2}{5}$.
Vậy $\left| z \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{{2\sqrt {10} }}{5}$ khi $z = \dfrac{2}{5} + \dfrac{6}{5}i$.
Vậy $z = \dfrac{2}{5} + \dfrac{6}{5}i$ là số phức cần tìm.