Gọi ${z_1} = a + b.i\,;{\rm{ }}\,{z_2} = c + d.i\,\,;\,{\rm{ }}(a,b,c,d$ là những số thực); ${z_1}$được biểu diễn bởi điểm M(a; b); ${z_2}$được biểu diễn bởi điểm N(c; d) trong mặt phẳng toạ độ Oxy
$\left| {\,{z_1} - 1 - i\,} \right| = 1 \Leftrightarrow {\left| {\,{z_1} - 1 - i\,} \right|^2} = 1 \Leftrightarrow {(a - 1)^2} + {(b - 1)^2} = 1$ suy ra M thuộc đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = 1.
$\left| {\,{z_2} - 6 - 6i\,} \right| = 6 \Leftrightarrow {\left| {\,{z_2} - 6 - 6i\,} \right|^2} = 36 \Leftrightarrow {(c - 6)^2} + {(d - 6)^2} = 36$ suy ra M thuộc đường tròn tâm J(6; 6), bán kính R' = 6.
$\left| {\,{z_1} - {z_2}} \right|\, = \sqrt {{{(c - a)}^2} + {{(d - b)}^2}} = MN$.
(Bài toán được qui về Bài toán công cụ 2)
Đường thẳng IJ có phương trình y = x. Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I tại hai điểm${M_1}\left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2};\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}} \right);\,{M_2}\left( {\dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2};\dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2}} \right)$
Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J tại hai điểm ${N_1}\left( {6 - 3\sqrt 2 ;6 - 3\sqrt 2 } \right);\,{N_2}\left( {6 + 3\sqrt 2 ;6 + 3\sqrt 2 } \right)$.
${M_2}{N_1} \le MN \le {M_1}{N_2}$ $ \Leftrightarrow 5\sqrt 2 - 7 \le \left| {\,{z_1} - {z_2}\,} \right| \le 5\sqrt 2 + 7$
$\max \left| {\,{z_1} - {z_2}\,} \right| = 5\sqrt 2 + 7\,khi\,M \equiv {M_1},N \equiv {N_2}$.
Vậy ${z_1} = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2} + \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}i\,\,;\,\,{z_2} = 6 + 3\sqrt 2 + \left( {6 + 3\sqrt 2 } \right)\,\,i$thì $\,\left| {\,{z_1} - {z_2}\,} \right|$đạt giá trị lớn nhất.
Trong các số phức z1, z2 thoả mãn: |z1 - 1 - i| = 1, |z2 - 6 - 6i| = 6 , tìm số phức z1, z2
Xuất bản: 22/02/2023 - Cập nhật: 28/07/2023 - Tác giả: Chu Huyền
Câu Hỏi:
Đáp án và lời giải
Trong các số phức z có môđun bằng 2. Tìm số phức z sao cho biểu thức $P = \left| {z - 1} \right| + \left| {z - 1 + 7i} \right|$ đạt giá trị lớn nhất.
Gọi $z = x + yi\,\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$
$\left| z \right| = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4$
$P = \left| {z - 1} \right| + \left| {z - 1 + 7i} \right| = \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 7)}^2}} $
Cho các số phức ${z_1};{z_2}$thoả mãn: $\,\left| {{z_1}} \right|\, = \,1\,\,;\,{\bar z_2}\left[ {{z_2} - (1 - i)} \right] - 6 + 2i$là một số thực. Tìm số phức ${z_1};{z_2}$sao cho $P = \,{\left| {\,{z_2}\,} \right|^2} - \left( {{z_1}{{\bar z}_2} + {{\bar z}_1}{z_2}} \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi ${z_1} = a + bi\,;\,{\rm{ }}{z_2} = c + di\,\,;\,{\rm{ }}\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)$$ \Rightarrow M(a;b),N(c;d)$ lần lượt biểu diễn cho ${z_1};{z_2}$ trong hệ toạ độ Oxy; $\left| {{z_1}} \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1$
Trong các số phức $z$ thoả mãn điều kiện$\left| {z - 3} \right| + \left| {z + 3} \right| = 10$. Tìm số phức z có môđun lớn nhất.
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp : $\frac {{\sqrt {3}}a}{2}$
- Bán kính mặt cầu tiếp xúc với các cạnh: $\frac {a}{\sqrt {2}}$
Gọi $z = x + yi\,\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$$ \Rightarrow $$M(x;y)$ biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy
$\begin{array}{l}\left| {z - 3} \right| + \left| {z + 3} \right| = 10 \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 3)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{(x + 3)}^2} + {y^2}} = 10\\{\rm{ }} \Leftrightarrow M{F_1} + M{F_2} = 10\end{array}$;
Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện $\left| {\overline Z \left( {1 + i} \right) - 3 + 2i} \right| = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2}$.
Gọi $z = x + yi{\rm{ }}(x,y \in R) \Rightarrow \bar z = x - yi$.
$\left| {\bar z\left. {(1 + i) - 3 + 2i} \right|} \right. = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - x - 5y + \dfrac{{39}}{8} = 0$.
