Cho các số phức z1; z2 thoả mãn: |z1| = 1; z2[z2 - (1 - i)] - 6 + 2i là một số thực.

Gọi ${z_1} = a + bi\,;\,{\rm{ }}{z_2} = c + di\,\,;\,{\rm{ }}\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)$$\Rightarrow M(a;b),N(c;d)$ lần lượt biểu diễn cho ${z_1};{z_2}$ trong hệ toạ độ Oxy; $\left| {{z_1}} \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1$
$\Rightarrow$ M thuộc đường tròn $(T)$ có tâm O, bán kính R = 1$\begin{array}{l}{{\bar z}_2} = c - di;\\\omega = \bar z\left[ {z - \left( {1 - i} \right)} \right] - 6 + 2i = \left( {c - di} \right)\left[ {(c - 1) + (d + 1)i} \right] + 2 - 6i\\\,\,\,\,\, = c(c - 1) + d(d + 1) + 2 + \left[ {c(d + 1) - d(c - 1) - 6} \right]i\end{array}$
$\omega$ là số thực $\Leftrightarrow c(d + 1) - d(c - 1) - 6 = 0 \Leftrightarrow c + d - 6 = 0$$\Rightarrow$ N thuộc đường thẳng $\Delta :x + y - 6 = 0$. Ta có $d(O;\Delta ) > 1$ nên $\Delta$ và $(T)$ không có điểm chung
$\begin{array}{l}{z_1}{{\bar z}_2} = ac + bd + (bc - ad)i;\\{{\bar z}_1}{z_2} = ac + bd + ( - bc + ad)i \Rightarrow {z_1}{{\bar z}_2} + {{\bar z}_1}{z_2} = 2(ac + bd)\end{array}$
$P = {c^2} + {d^2} - 2(ac + bd) = {(c - a)^2} + {(b - d)^2} - 1 = M{N^2} - 1$ (vì ${a^2} + {b^2} = 1$)
(Bài toán được qui về Bài toán công cụ 3)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên $\Delta :x + y - 6 = 0 \Rightarrow H(3;3)$
Đoạn OH cắt đường tròn $(T)$ tại $I\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$
Với N thuộc đường thẳng $\Delta$, M thuộc đường tròn $(T)$, ta có:
$MN \ge {\rm{ }}ON - OM{\rm{ }} \ge {\rm{ }}OH - OI = IH = {\rm{ }}3\sqrt 2 - 1$. Đẳng thức xảy ra khi $M \equiv I;N \equiv H$
$\Rightarrow P \ge {\left( {3\sqrt 2 - 1} \right)^2} - 1 = 18 - 6\sqrt 2$. Đẳng thức xảy ra khi ${z_1} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}i;{z_2} = 3 + 3i$
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $18 - 3\sqrt 2$ khi ${z_1} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}i;{z_2} = 3 + 3i$.