Gọi ${z_1} = a + bi\,;\,{\rm{ }}{z_2} = c + di\,\,;\,{\rm{ }}\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)$$ \Rightarrow M(a;b),N(c;d)$ lần lượt biểu diễn cho ${z_1};{z_2}$ trong hệ toạ độ Oxy; $\left| {{z_1}} \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1$
$ \Rightarrow $ M thuộc đường tròn $(T)$ có tâm O, bán kính R = 1$\begin{array}{l}{{\bar z}_2} = c - di;\\\omega = \bar z\left[ {z - \left( {1 - i} \right)} \right] - 6 + 2i = \left( {c - di} \right)\left[ {(c - 1) + (d + 1)i} \right] + 2 - 6i\\\,\,\,\,\, = c(c - 1) + d(d + 1) + 2 + \left[ {c(d + 1) - d(c - 1) - 6} \right]i\end{array}$
$\omega $ là số thực $ \Leftrightarrow c(d + 1) - d(c - 1) - 6 = 0 \Leftrightarrow c + d - 6 = 0$$ \Rightarrow $ N thuộc đường thẳng $\Delta :x + y - 6 = 0$. Ta có $d(O;\Delta ) > 1$ nên $\Delta $ và $(T)$ không có điểm chung
$\begin{array}{l}{z_1}{{\bar z}_2} = ac + bd + (bc - ad)i;\\{{\bar z}_1}{z_2} = ac + bd + ( - bc + ad)i \Rightarrow {z_1}{{\bar z}_2} + {{\bar z}_1}{z_2} = 2(ac + bd)\end{array}$
$P = {c^2} + {d^2} - 2(ac + bd) = {(c - a)^2} + {(b - d)^2} - 1 = M{N^2} - 1$ (vì ${a^2} + {b^2} = 1$)
(Bài toán được qui về Bài toán công cụ 3)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên $\Delta :x + y - 6 = 0 \Rightarrow H(3;3)$
Đoạn OH cắt đường tròn $(T)$ tại $I\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$
Với N thuộc đường thẳng $\Delta $, M thuộc đường tròn $(T)$, ta có:
$MN \ge {\rm{ }}ON - OM{\rm{ }} \ge {\rm{ }}OH - OI = IH = {\rm{ }}3\sqrt 2 - 1$. Đẳng thức xảy ra khi $M \equiv I;N \equiv H$
$ \Rightarrow P \ge {\left( {3\sqrt 2 - 1} \right)^2} - 1 = 18 - 6\sqrt 2 $. Đẳng thức xảy ra khi ${z_1} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}i;{z_2} = 3 + 3i$
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $18 - 3\sqrt 2 $ khi ${z_1} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}i;{z_2} = 3 + 3i$.
Cho các số phức z1; z2 thoả mãn: |z1| = 1; z2[z2 - (1 - i)] - 6 + 2i là một số thực.
Xuất bản: 22/02/2023 - Cập nhật: 28/07/2023 - Tác giả: Chu Huyền
Câu Hỏi:
Đáp án và lời giải
Trong các số phức z có môđun bằng 2. Tìm số phức z sao cho biểu thức $P = \left| {z - 1} \right| + \left| {z - 1 + 7i} \right|$ đạt giá trị lớn nhất.
Gọi $z = x + yi\,\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$
$\left| z \right| = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4$
$P = \left| {z - 1} \right| + \left| {z - 1 + 7i} \right| = \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 7)}^2}} $
Trong các số phức $z$ thoả mãn điều kiện$\left| {z - 3} \right| + \left| {z + 3} \right| = 10$. Tìm số phức z có môđun lớn nhất.
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp : $\frac {{\sqrt {3}}a}{2}$
- Bán kính mặt cầu tiếp xúc với các cạnh: $\frac {a}{\sqrt {2}}$
Gọi $z = x + yi\,\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$$ \Rightarrow $$M(x;y)$ biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy
$\begin{array}{l}\left| {z - 3} \right| + \left| {z + 3} \right| = 10 \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 3)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{(x + 3)}^2} + {y^2}} = 10\\{\rm{ }} \Leftrightarrow M{F_1} + M{F_2} = 10\end{array}$;
Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện $\left| {\overline Z \left( {1 + i} \right) - 3 + 2i} \right| = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2}$.
Gọi $z = x + yi{\rm{ }}(x,y \in R) \Rightarrow \bar z = x - yi$.
$\left| {\bar z\left. {(1 + i) - 3 + 2i} \right|} \right. = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - x - 5y + \dfrac{{39}}{8} = 0$.
Trong các số phức z1, z2 thoả mãn: $\,\left| {{z_1} - 1 - i\,} \right|\, = \,1\,\,;\,\left| {{z_2} - 6 - 6i\,} \right|\,\, = \,\,6$, tìm số phức z1, z2 sao cho $\,\left| {\,{z_1} - {z_2}\,} \right|$ đạt giá trị lớn nhất.
Gọi ${z_1} = a + b.i\,;{\rm{ }}\,{z_2} = c + d.i\,\,;\,{\rm{ }}(a,b,c,d$ là những số thực); ${z_1}$được biểu diễn bởi điểm M(a; b); ${z_2}$được biểu diễn bởi điểm N(c; d) trong mặt phẳng toạ độ Oxy
