Trong các số phức z có môđun bằng 2√2. Tìm số phức z sao cho biểu thức P

Gọi $z = x + yi\,\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$
$\left| z \right| = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}}  = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 8$
$P = \left| {z + 1} \right| + \left| {z + i} \right| = \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {y^2}}  + \sqrt {{x^2} + {{(y + 1)}^2}} $
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki cho hai bộ số
1;1 và $\sqrt {{{(x + 1)}^2} + {y^2}} ;\sqrt {{x^2} + {{(y + 1)}^2}} $, ta có:
${P^2} \le 2\left[ {{{(x + 1)}^2} + {y^2} + {x^2} + {{(y + 1)}^2}} \right] = 4(9 + x + y)$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho hai bộ số 1;1 và $x;y$, ta có:
$x + y \le \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}  = 4$
$ \Rightarrow {P^2} \le 52 \Rightarrow P \le 2\sqrt {13} $. Đẳng thức xảy ra khi $x = y = 2$
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng $2\sqrt {13} \,\,{\rm{khi}}\,\,z = 2 + 2i$.