Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm Aleft( 1;1;0 right),,,Bleft( 2; -

Gọi $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {a;b;c} \right)$ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( Q \right)$.
$\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;1} \right)$
$AB \subset \left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0 \Leftrightarrow a - 3b + c = 0 \Rightarrow c = 3b - a$
Gọi $\varphi$ là góc tạo bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right).$
Khi đó $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{{\left| {4a + b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .3\sqrt 2 }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left| {4a + b + c} \right| = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {4a + b + 3b - a} \right| = \frac{9}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {{\left( {3b - a} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {3a + 4b} \right)^2} = \frac{9}{2}\left( {{a^2} + {b^2} + 9{b^2} - 6ab + {a^2}} \right)\\ \Leftrightarrow - 29{b^2} + 51ab = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 0\\ - 29b + 51a = 0 \end{array} \right. \end{array}$
Với $b = 0,$ chọn $a = 1 \Rightarrow c = - 1$, khi đó $\left( Q \right):x - z - 1 = 0$.
Với $\frac{a}{b} = \frac{{29}}{{51}},$ chọn $a = 29,b = 51 \Rightarrow c = 124$, khi đó $\left( Q \right):29x + 51y + 124z - 80 = 0$.