Cho hàm số y = fracsin x - cos x + 1sin x + cos x + 2. Giả sử hàm số có giá trị

$\begin{array}{l} y\left( {\sin x + \cos x + 2} \right) = \sin x - \cos x + 1\\ \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\sin x + \left( {y + 1} \right)\cos x = \left( {1 - 2y} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right) \end{array}$
Phương trình (1) có nghiệm $\Leftrightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \ge {\left( {1 - 2y} \right)^2}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{y^2} + 2 - \left( {1 - 4y + 4{y^2}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow - 2{y^2} + 4y + 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2 - \sqrt 6 }}{2} \le y \le \frac{{2 + \sqrt 6 }}{2} \end{array}$
$\Rightarrow M + m = 2$.