Cho tích phân I = intlimits_23 fracdxxsqrt x3 + 1 . Xác định 3a + b biết I =

Đặt $\sqrt {{x^3} + 1} = t \Rightarrow {x^3} + 1 = {t^2} \Rightarrow 3{x^2}dx = 2tdt$.
Khi đó
$\begin{array}{*{20}{l}} { I = \int\limits_3^{2\sqrt 7 } {\frac{{2tdt}}{{3\left( {{t^2} - 1} \right)t}}} = \left. {\frac{1}{3}\ln \left( {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right)} \right|_3^{2\sqrt 7 } = \frac{1}{3}\left[ {\ln \left( {\frac{{2\sqrt 7 - 1}}{{2\sqrt 7 + 1}}} \right) - \ln \frac{1}{2}} \right] = \frac{1}{3}\left( {\ln \frac{{29 - 2\sqrt 7 }}{{27}} + \ln 2} \right)}\\ { = \frac{1}{3}\left[ {\ln \left( {29 - 2\sqrt {27} } \right) - 3\ln 3 + \ln 2} \right] = \frac{1}{3}\ln \left( {29 - 2\sqrt {27} } \right) - \ln 3 + \frac{1}{3}\ln 2. } \end{array}.$
Do đó $a = \frac{1}{3}$, $b = - 1\Rightarrow 3a + b = 0$.