Cho số thực dương a, kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = 4\left( {x - a} \right){e^{2x}}$ và trục hoành nghiệm của phương trình $4\left( {x - a} \right){e^{2x}} = 0 \Leftrightarrow x = a.$
Do đó $V = \pi \int\limits_0^a {{y^2}dx} = \pi \int\limits_0^a {{{\left[ {4\left( {x - a} \right){e^x}} \right]}^2}dx} = 16\pi \int\limits_0^a {\left( {{x^2} - 2ax + {a^2}} \right){e^{2x}}dx} = 16\pi \left[ {\int\limits_0^a {{x^2}{e^{2x}}dx} - 2a\int\limits_0^a {x{e^{2x}}dx} + {a^2}\int\limits_0^a {{e^{2x}}dx} } \right]$
Tính ${I_1} = \int\limits_0^a {{x^2}{e^{2x}}dx} :$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2}\\
dv = {e^{2x}}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2xdx\\
v = \frac{1}{2}{e^{2x}}
\end{array} \right.$
${I_1} = \left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}}} \right)} \right|_0^a - \int\limits_0^a {x{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{a^2}{e^{2a}} - \int\limits_0^a {x{e^{2x}}dx} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = {e^{2x}}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = \frac{1}{2}{e^{2x}}
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \int\limits_0^a {x{e^{2x}}dx} = \left. {\left( {\frac{1}{2}x{e^{2x}}} \right)} \right|_0^a - \frac{1}{4}\left. {{e^{2x}}} \right|_0^a = \frac{1}{2}a{e^{2a}} - \frac{1}{4}{e^{2a}} + \frac{1}{4}.$
Khi đó $V = 16\pi \left[ {\frac{1}{2}{a^2}{e^{2a}} - \left( {1 + 2a} \right)\left( {\frac{1}{2}a{e^{2a}} - \frac{1}{4}{e^{2a}} + \frac{1}{4}} \right) + \frac{{{a^2}}}{2}\left( {{e^{2a}} - 1} \right)} \right]$
$\begin{array}{l}
= 16\pi \left[ {\frac{1}{2}{a^2}{e^{2a}} - \frac{1}{2}a{e^{2a}} + \frac{1}{4}{e^{2a}} - \frac{1}{4} - {a^2}{e^{2a}} + \frac{1}{2}a{e^{2a}} - \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}{a^2}{e^{2a}} - \frac{1}{2}{a^2}} \right]\\
= 16\pi \left[ {\frac{1}{4}{e^{2a}} - \frac{1}{2}a - \frac{1}{2}{a^2} - \frac{1}{4}} \right] = 4\pi \left[ {{e^{2a}} - 2a - 2{a^2} - 1} \right].
\end{array}$
Theo giả thiết, $V = 4\pi \left( {{e^2} - 5} \right)$, tức là $a = 1$.