Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi O là tâm đáy, M

Gọi $N$ là trung điểm của $DC.$
Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}
DC \bot NO\\
DC \bot SO
\end{array} \right. \Rightarrow DC \bot \left( {SON} \right)$
Kẻ $OH \bot ON \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH.$
$\frac{{d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{CO}}{{CM}} = \frac{{\frac{1}{2}AC}}{{\frac{3}{4}AC}} = \frac{2}{3}.$
$\begin{array}{l}
\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} = \frac{1}{{S{A^2} - A{O^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2}}}\\
= \frac{1}{{{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{6}{{{a^2}}}\\
\Rightarrow OH = \frac{a}{{\sqrt 6 }}
\end{array}$
$ \Rightarrow d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{3}{2}.OH = \frac{{3a}}{{2\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 a}}{4}$.