Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số y=x3-3 m x2-9 m2 x nghịch

Tập xác định: $D= \mathbb{R}$.

y^{\prime}=3 x^{2}-6 m x-9 m^{2} ; y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 3 x^{2}-6 m x-9 m^{2}=0

$\Leftrightarrow x^{2}-2 m x-3 m^{2}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-m \\ x=3 m\end{array}\right.$

Nếu $-m=3 m \Leftrightarrow m=0$ thì $y^{\prime} \geq 0 ; \forall x \in \mathbb{R}$ nên hàm số không có khoảng nghịch biến.

Nếu $-m<3 m \Leftrightarrow m>0$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $(-m ; 3 m)$.

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(0 ; 1) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-m \leq 0 \\ 3 m \geq 1\end{array} \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{3}\right.$

Kết hợp với điều kiện ta được $m \geq \frac{1}{3}$

Nếu $-m>3 m \Leftrightarrow m<0$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $(3 m ;-m)$

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng

$(0 ; 1) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3 m \leq 0 \\ -m \geq 1\end{array} \Leftrightarrow m \leq-1\right.$

Kết hợp với điều kiện ta được $m \leq-1$

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0 ; 1)$ khi $m \leq-1$ hoặc $m \geq \frac{1}{3}$.