Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1 - sin 3x + sqrt 3 cos 3x trên mathbbR.

Ta có
$\begin{array}{l} y = 1 - \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x\\ \Leftrightarrow y - 1 = - \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x\\ \Leftrightarrow \frac{{y - 1}}{2} = - \frac{1}{2}\sin 3x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 3x\\ \Leftrightarrow \frac{{y - 1}}{2} = \cos \frac{{2\pi }}{3}\sin 3x + \sin \frac{{2\pi }}{3}\cos 3x\\ \Leftrightarrow \frac{{y - 1}}{2} = \sin \left( {3x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) \end{array}$
Nhận xét: $- 1 \le \sin \left( {3x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) \le 1$ do đó $- 1 \le \frac{{y - 1}}{2} \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le y - 1 \le 2 \Leftrightarrow - 1 \le y \le 3.$
Vậy ${y_{\min }} = - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 3x + \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{\pi }{2} + 2k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{{7\pi }}{{18}} + \frac{{2k\pi }}{3}.$
${y_{\max }} = 3 \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow 3x + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{18}} + \frac{{2k\pi }}{3}.$