Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA bot left( ABCD right).

Ta có $\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = {90^0} \Rightarrow $ $B,D$ thuộc hình cầu tâm $O,$ đường kính $AC \,\,\,\, (1)$
$\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot BA\\
BC \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$
$\left\{ \begin{array}{l}
AH \bot BC\\
AH \bot SB
\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot HC \Rightarrow \widehat {AHC} = {90^0} \,\,\,\,(2)$
Tương tự, $\widehat {AKC} = {90^0} \,\,\,\,(3)$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
AH \bot \left( {SBC} \right)\\
AK \bot \left( {SCD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AH \bot SC\\
AK \bot SC
\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow SC \bot AI \Rightarrow \widehat {AIC} = {90^0} \,\,\,\, (4)$
Từ $\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right)\left( 4 \right)$ ta có $O$ là tâm hình cầu ngoại tiếp khối $ABCDHIK$, bán kính $R = OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Suy ra $V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\pi {a^3}.$