Cho số phức z thỏa mãn điều kiện left( z + 1 right)left( i - overline z right)

Gọi $z = x + iy,\,\,\,x,y \in $ $\mathbb{R}$.
Ta có
$\left( {z + 1} \right)\left( {i - \overline z } \right) = \left( {x + iy} \right)i - \left( {{x^2} + {y^2}} \right) + i - \left( {x - iy} \right) = - \left( {{x^2} + {y^2} + x + y} \right) + i\left( {x + 1 + y} \right)$ là số thực$ \Leftrightarrow x + y + 1 = 0$
$\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( { - x - 1} \right)}^2}} $ nhỏ nhất $ \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + 2x + 1} $ nhỏ nhất $ \Leftrightarrow {\left[ {2{x^2} + 2x + 1} \right]_{\min }}$
Ta có $2{x^2} + 2x + 1 = 2\left( {{x^2} + x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2}.$
Suy ra $\left| z \right|$ nhỏ nhất bằng $\frac{1}{\sqrt{2}}$.