Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f(x)=frac15 m2

Ta có $f^{\prime}(x)=m^{2} x^{4}-m x^{2}+20 x-\left(m^{2}-m-20\right)=m^{2}\left(x^{4}-1\right)-m\left(x^{2}-1\right)+20(x+1)$

$=m^{2}(x-1)(x+1)\left(x^{2}+1\right)-m(x-1)(x+1)+20(x+1)$

$=(x+1)\left[m^{2}(x-1)\left(x^{2}+1\right)-m(x-1)+20\right]$

$f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1 \\ m^{2}(x-1)\left(x^{2}+1\right)-m(x-1)+20=0(*)\end{array}\right.$

Ta có $f^{\prime}(x)=0$ có một nghiệm đơn là $x=-1$, do đó nếu $(*)$ không nhận $x=-1$ là nghiệm thì $f^{\prime}(x)$ đổi dấu qua $x=-1$ . Do đó để $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $f^{\prime}(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$ hay $\left(^{*}\right)$ nhận $x=-1$ làm nghiệm (bậc lẻ).

Suy ra $m^{2}(-1-1)(1+1)-m(-1-1)+20=0 \Leftrightarrow-4 m^{2}+2 m+20=0$

Tổng các giá trị của $m$ là $\frac{1}{2}$