Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y=frac34 x4-frac92 x2+(2

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y^{\prime}=3 x^{3}-9 x+2 m+15 \geq 0 \forall x \in(0 ;+\infty)$ và dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc $(0 ;+\infty) \Leftrightarrow 3 x^{3}-9 x+15 \geq-2 m \forall x \in(0 ;+\infty)$

Xét hàm số: $g(x)=3 x^{3}-9 x+15$ trên $(0 ;+\infty)$

Ta có: $g^{\prime}(x)=9 x^{2}-9$

$g^{\prime}(x)=0 \Rightarrow\left[\begin{array}{c}x=1 \\ x=-1(l)\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:



Từ BBT ta có: $-2 m \leq 9 \Leftrightarrow m \geq-\frac{9}{2}$

Vậy $m \in\{-4 ;-3 ;-2 ;-1\}$