Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y=frac14 x4+m x-frac32 x

Tập xác định : $D= \mathbb{R} . y^{\prime}=x^{3}+m+\frac{3}{2 x^{2}}$.

Ta có: hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$ khi và chỉ khi $y^{\prime} \geq 0$ với $\forall x \in(0 ;+\infty)$

$\Leftrightarrow x^{3}+m+\frac{3}{2 x^{2}} \geq 0, \forall x \in(0 ;+\infty) \Leftrightarrow x^{3}+\frac{3}{2 x^{2}} \geq-m, \forall x \in(0 ;+\infty)$$\Leftrightarrow-m \leq \operatorname{Min}_{(0 ;+\infty)} f(x),$ với $f(x)=x^{3}+\frac{3}{2 x^{2}}(1)$

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có $f(x)=x^{3}+\frac{3}{2 x^{2}}=\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{3}}{2}+\frac{1}{2 x^{2}}+\frac{1}{2 x^{2}}+\frac{1}{2 x^{2}} \geq 5 \sqrt[5]{\frac{1}{2^{5}}}=\frac{5}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=1$. Do đó$\operatorname{Min}_{(0 ;+\infty)} f(x)=\frac{5}{2}(2)$

Từ (1) và (2) ta có $-m \leq \frac{5}{2} \Leftrightarrow m \geq-\frac{5}{2}$. Do m nguyên âm nên $m=-1$ hoặc $m=-2$

Vậy có hai giá trị nguyên âm của tham số $m$ thỏa mãn điều kiện bài ra.