Gọi x_1 là nghiệm của phương trình log _2left( 1 + sqrt x right) = log _3x.

Điều kiện: $x > 0.$
${\log _2}\left( {1 + \sqrt x } \right) = {\log _3}x \Leftrightarrow 1 + \sqrt x = {2^{{{\log }_3}x}}\,\,\,\left( 1 \right)$
Đặt ${\log _3}x = t \Leftrightarrow x = {3^t} \Rightarrow \sqrt x = {\left( {\sqrt 3 } \right)^t}$
$\begin{array}{l} \left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^t} = {2^t}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^t} = 1\,\,\,\left( 2 \right) \end{array}$
Vế trái xét
$f\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^t}$ là hàm nghịch biến nên phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm duy nhất và ta thấy $t = 2$ là nghiệm. Vậy ${\log _3}x = 2 \Rightarrow x = 9.$
Vậy ${x_1} = 9.$ Ta có $A = {x_1}^2 + 2{x_1} = {9^2} + 2.9 = 99.$