Hàm số nào dưới đây đồng biến trên R ?

Hàm số $y=3 x^{3}+3 x-2$ có TXD: $D= R$

$y^{\prime}=9 x^{2}+3>0, \forall x \in R$ , suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty)$

Đặt $t=-\sqrt{6-x}$ vì $x \in(-8 ; 5) \Rightarrow t \in(-\sqrt{14} ;-1)$ và $t=-\sqrt{6-x}$ đồng biến trên $(-8 ; 5)$

Hàm số trở thành $y=\frac{-(4-m) t+3}{-t+m}$ tập xác định $D= \mathbb{R} \backslash\{m\} \Rightarrow y^{\prime}=\frac{m^{2}-4 m+3}{(-t+m)^{2}}$.Để hàm số đồng biến trên khoảng $(-\sqrt{14} ;-1) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^{2}-4 m+3>0 \\ {\left[\begin{array}{l}m \leq-\sqrt{14} \\ m \geq-1\end{array}\right.}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m \leq-\sqrt{14} \\ -1 \leq m<1 \\ m>3\end{array}\right.\right.$

$y^{\prime}=3 x^{2}-2 m x-(m-6)$. Để hàm số đồng biến trên khoảng $(0 ; 4)$ thì: $y^{\prime} \geq 0, \forall x \in(0 ; 4)$

tức là $3 x^{2}-2 m x-(m-6) \geq 0 \forall x \in(0 ; 4) \Leftrightarrow \frac{3 x^{2}+6}{2 x+1} \geq m \forall x \in(0 ; 4)$

$y^{\prime}=4 x^{3}-4 x \Rightarrow y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow y=1 \\ x=1 \Rightarrow y=0 \\ x=-1 \Rightarrow y=0\end{array}\right.$

$y=f(x)=\frac{\ln x-4}{\ln x-2 m}$

Đặt $t=\ln x$, điều kiện $t \in(0 ; 1)$

$g(t)=\frac{t-4}{t-2 m} ; g^{\prime}(t)=\frac{-2 m+4}{(t-2 m)^{2}}$

Để hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(1 ; e)$ thì hàm số $g(t)$ đồng biến trên $(0 ; 1) \Leftrightarrow g^{\prime}(t)>0, t \in(0 ; 1)$

Ta có $y^{\prime}=3 x^{2}+6 x-m$.

Để hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ; 0)$ thì $y^{\prime} \geq 0, \forall x \in(-\infty ; 0)$

$\Leftrightarrow 3 x^{2}+6 x-m \geq 0, \forall x \in(-\infty ; 0)$

$\Leftrightarrow m \leq 3 x^{2}+6 x, \forall x \in(-\infty ; 0)$

$y' = 3x^2 +6x+m.$ Hàm số đồng biến nếu y' ≥ 0. Ta có Δ' = 9 - 3m

TH1: m ≥ 3 => Δ' ≤ 0 .

Hàm số đồng biến trên R. Do đó m ≥ 3 không thỏa mãn yêu cầu đề bài

TH2: m < 3 => Δ' > 0 .

y’ có hai nghiệm phân biệt là

$\dfrac{-3 ± \sqrt{9-3m}}{3}$



Từ bảng biến thiên, ta thấy không tồn tại m để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

Cho hàm số y = sin2⁡x + cos⁡x,x ∈ 0; π. Hàm số đồng biến trên các khoảng (π/3; π)

Ta có $y' = \dfrac{-m^2 + 2m + 3}{(x + m)^2}$

Hàm số đồng biến trên: $(2; +∞) ⇔ y' > 0, ∀x ∈ (2; +∞)$

Suy ra

$\left\{ \matrix{
-m^2 + 2m + 3 > 0 \hfill \cr
x ≠ m ∈ (2; +∞) \hfill \cr} \right.$

⇔ $\left\{ \matrix{
1 < m <3 \hfill \cr
m ≤ 2 \hfill \cr} \right.$