Bài 9 trang 70 SGK Toán 9 tập 1

Bạn muốn giải bài 9 trang 70 SGK Toán 9 tập 1 không nên bỏ qua bài viết này. Với những hướng dẫn chi tiết, không chỉ tham khảo cách làm hoặc đáp án mà bài viết này còn giúp bạn nắm vững lại các kiến thức Toán 9 chương 1 phần hình học về một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông để tự tin giải tốt các bài tập khác.

Đề bài 9 trang 70 SGK Toán 9 tập 1

Cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(I\) là một điểm nằm giữa \(A\) và \(B\). Tia \(DI\) và tia \(CB\) cắt nhau ở \(K\). Kẻ đường thẳng qua \(D\), vuông góc với \(DI\). Đường thẳng này cắt đường thẳng \(BC\) tại \(L\). Chứng minh rằng

a) Tam giác \(DIL\) là một tam giác cân;

b) Tổng \(\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\) không đổi khi \(I\) thay đổi trên cạnh \(AB\).

» Bài tập trước: Bài 8 trang 70 SGK Toán 9 tập 1

Giải bài 9 trang 70 SGK Toán 9 tập 1

Hướng dẫn cách làm

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau\((\Delta{ADI}\) và \(\Delta{CDL})\) từ đó suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\) để đưa tổng đã cho về tổng của các số không đổi.

Đáp án chi tiết

Dưới đây là các cách giải bài 9 trang 70 SGK Toán 9 tập 1 để các bạn tham khảo và so sánh bài làm của mình:

a) Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta CDL\) có:

\(\widehat{A}=\widehat{C}= 90^{\circ}\)

\(AD=CD\) (hai cạnh hình vuông)

\(\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}\)  (cùng phụ với \(\widehat{CDI})\)

Do đó \(\Delta ADI=\Delta CDL\) (g.c.g)

Suy ra \(DI=DL\).

Vậy \(\Delta DIL\) cân (đpcm).

b) Xét \(\Delta{DLK}\) vuông tại \(D\), đường cao \(DC\).

Áp dụng hệ thức \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\), ta có:

\(\dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DL^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\)  (mà \(DL=DI)\)

Suy ra        \(\dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\)

Do \(DC\) không đổi nên \(\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\) là không đổi.

Nhận xét: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\)

Nếu đề bài không cho vẽ \(DL\perp DK\) thì ta vẫn phải vẽ đường phụ \(DL\perp DK\) để có thể vận dụng hệ thức trên.

» Bài tiếp theo: Bài 10 trang 76 SGK Toán 9 tập 1

Nội dung trên đã giúp bạn nắm được cách làm bài 9 trang 70 SGK Toán 9 tập 1. Hy vọng những bài hướng dẫn giải Toán 9 của Đọc Tài Liệu sẽ giúp các bạn hoàn thành bài tập chính xác và học tốt môn học này.