Có thể đề bài sẽ yêu cầu cần phải phân tích BĐT sau:
Bài toán 1. Chứng minh bất đẳng thức
\(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
Bài toán 2. Nếu a² + b² + c² - ab - bc - ca = 0, em hãy chứng minh rằng a³ + b³ + c³ = 3abc
Bài toán 3.
Vậy để làm được các bài toán trên thì em hãy cùng Đọc tài liệu tham khảo cách phân tích đa thức này thành nhân tử nhé:
Cách 1
a³ + b³ + c³ - 3abc = a³ + 3ab(a + b) + b³ + c³ - 3abc - 3ab(a + b)
= (a + b)³ + c³ - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)(a² + 2ab + b² - ca - bc + c²) - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
Vậy a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
Cách 2
a³ + b³ + c³ - 3abc = ( a³ + b³ ) + c³ - 3abc
= ( a + b)³ - 3ab( a + b) + c³ - 3abc
= ( a + b)³ - 3a²b - 3ab² + c³ - 3abc
= {(a + b)³ + c³ } -3a²b - 3ab² - 3abc
= ( a + b + c)³ - 3c(a + b)( a + b + c ) - 3ab(a + b+ c)
= (a + b + c) {( a + b + c)² -3c(a +b) - 3ab}
= (a + b + c) {a² + b² + c² +2ab +2bc+ 2ca -3ca - 3bc - 3ab}
= (a + b + c)( a² + b² + c² - ab - bc - ca)