Mời các em tham khảo tổng hợp lý thuyết Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau cùng một số dạng bài thường gặp và hướng dẫn cách làm, qua đó nắm được các định lý, công thức và áp dụng hoàn thành các bài tập.
I. Lý thuyết Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng \(d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và \(d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)\).
1. Đường thẳng song song
Hai đường thẳng \(y = ax + b (a\ne 0)\) và \(y = a'x + b' (a'\ne 0)\) song song với nhau khi và chỉ khi \(a = a', b ≠ b'\) và trùng nhau khi và chỉ khi \(a = a', b = b'\).
2. Đường thẳng cắt nhau
Hai đường thẳng \(y = ax + b (a\ne 0)\) và \(y' = a'x + b' (a'\ne 0)\) cắt nhau khi và chỉ khi \(a ≠ a'\).
Ghi nhớ:
+) \(d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\)
+) \(d \) cắt \( d' \Leftrightarrow a \ne a'\).
+) \(d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\).
II. Các dạng toán thường gặp về Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau
Dạng 1: Chỉ ra vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước. Tìm tham số m để các đường thẳng thỏa mãn vị trí tương đối cho trước.
Phương pháp:
Cho hai đường thẳng \(d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và \(d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)\).
+) \(d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\)
+) \(d\) cắt \(d' \Leftrightarrow a \ne a'\).
+) \(d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\).
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng
Phương pháp:
+) Sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng để xác định hệ số.
Ngoài ra ta còn sử dụng các kiến thức sau
+) Ta có \(y = ax + b\) với \(a \ne 0, b \ne 0\) là phương trình đường thẳng cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0;b} \right)\), cắt trục hoành tại điểm \(B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\).
+) Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = ax + b\) khi và chỉ khi \({y_0} = a{x_0} + b\).
Dạng 3: Tìm điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua với mọi tham số \(m\)
Phương pháp:
Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn phương trình đường thẳng \(d\).
Đưa phương trình đường thẳng \(d\) về phương trình bậc nhất ẩn \(m\).
Từ đó để phương trình bậc nhất \(ax + b = 0\) luôn đúng thì \(a = b = 0\)
Giải điều kiện ta tìm được \(x,y\).
Khi đó \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm cố định cần tìm.
III. Bài tập về Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau
Cho hàm số \( y = ax + 3\). Hãy xác đinh hệ số a trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng \(y = -2x\);
b) Khi \(x = 1 + \sqrt 2\) thì \(y = 2 + \sqrt 2\) .
Lời giải:
a) Đồ thị của hàm số \(y = ax + 3\) song song với đường thẳng \(y = - 2x\) nên \(a = -2\)
Vậy hệ số a của hàm số là: \(a = -2\)
b) Khi \(x = 1 + \sqrt 2\) thì \(y = 2 + \sqrt 2\)
Ta có:
\(\eqalign{ & 2 + \sqrt 2 = a\left( {1 + \sqrt 2 } \right) + 3 \cr & \Leftrightarrow a\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = \sqrt 2 - 1 \cr & \Leftrightarrow a = {{\sqrt 2 - 1} \over {\sqrt 2 + 1}} \cr & \Leftrightarrow a = {{{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} \cr & = {{2 - 2\sqrt 2 + 1} \over {2 - 1}} = 3 - 2\sqrt 2 \cr} \)
Vậy hệ số a của hàm số là: \(a = 3 - 2\sqrt 2 \)
=>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong chuyên đề vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 9 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài
******************
Trên đây là lý thuyết Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau bao gồm các kiến thức cần nắm và những dạng bài liên quan. Hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích phục vụ việc học tập của các em. Ngoài ra, các em hãy truy cập doctailieu.com để tham khảo thêm nhiều tài liệu học Toán lớp 9 phong phú khác mà chúng tôi đã sưu tầm và tổng hợp nhé. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!