Lý thuyết Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Nếu đang tìm kiếm một tài liệu học tập về phần căn thức bậc hai và hằng đẳng thức, các em hãy tham khảo ngay tài liệu dưới đây với hệ thống lý thuyết Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức cùng các dạng bài tập thường gặp, giúp các em nắm được trọn vẹn phần kiến thức này. Các thầy cô cũng có thể sử dụng bài tổng hợp này như một tài liệu hữu ích phục vụ quá trình dạy học của mình.

Cùng tham khảo nhé!

I. Lý thuyết Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Căn thức bậc hai

Với \(A\) là một biểu thức đại số, người ta gọi \(\sqrt A\)  là căn thức bậc hai của \(A\). Khi đó, \(A\) được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

\(\sqrt A\)  xác định hay có nghĩa khi A lấy giá trị không âm.

Hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|  \)

Với mọi số \(a\), ta có \(\sqrt {{a^2}}  = \left| a \right|.\)

Một cách tổng quát, với \(A\) là một biểu thức ta có

II. Một số dạng toán thường gặp về Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức  \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Dạng 2:

Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

- Đưa các biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức  (thông thường là \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}, {\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2})\)

- Sử dụng hằng đẳng thức \( \sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Dạng 3: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức biểu thức \(\sqrt A\) có nghĩa khi và chỉ khi \(A \ge 0\).

Dạng 5: Giải phương trình chứa căn bậc hai

Phương pháp:

Ta chú ý một số phép biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai sau đây:

\(\sqrt A  = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.\);                                         

\(\sqrt {{A^2}}  = B \Leftrightarrow \left| A \right| = B\)

\(\sqrt A  = \sqrt B  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\left( { \vee B \ge 0} \right)\\A = B\end{array} \right.\)

;                      

\(\sqrt {{A^2}}  = \sqrt {{B^2}}  \Leftrightarrow \left| A \right| = \left| B \right| \Leftrightarrow A =  \pm B\)

III. Bài tập ví dụ về Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Rút gọn rồi tính:

a) \(5\sqrt {{{( - 2)}^4}} \)

b) \( - 4\sqrt {{{( - 3)}^6}} \)

c) \(\sqrt {\sqrt {{{( - 5)}^8}} } \)

d) \(2\sqrt {{{( - 5)}^6}}  + 3\sqrt {{{( - 2)}^8}} \)

Lời giải 

a)

\(\eqalign{ & 5\sqrt {{{( - 2)}^4}} = 5\sqrt {{{\left[ {{{( - 2)}^2}} \right]}^2}} \cr  & = 5.\left| {{{( - 2)}^2}} \right| = 5.4 = 20 \cr} \)

b)

\(\eqalign{ & - 4\sqrt {{{( - 3)}^6}} = - 4\sqrt {{{\left[ {{{\left( { - 3} \right)}^3}} \right]}^2}} \cr  & = - 4.\left| {{{\left( { - 3} \right)}^3}} \right| = - 4.\left| { - 27} \right| \cr  & = - 4.27 = - 108 \cr} \)

c)

\(\eqalign{ & \sqrt {\sqrt {{{( - 5)}^8}} } = \sqrt {\sqrt {{{\left[ {{{\left( { - 5} \right)}^4}} \right]}^2}} } \cr  & = \sqrt {{{( - 5)}^4}} = \sqrt {{{\left[ {{{\left( { - 5} \right)}^2}} \right]}^2}} \cr  & = \left| {{{( - 5)}^2}} \right| = 25 \cr} \)

d)

\(\eqalign{ & 2\sqrt {{{( - 5)}^6}} + 3\sqrt {{{( - 2)}^8}} \cr  & = 2.\sqrt {{{\left[ {{{\left( { - 5} \right)}^3}} \right]}^2}} + 3.\sqrt {{{\left[ {{{\left( { - 2} \right)}^4}} \right]}^2}} \cr} \)

\(\eqalign{ & = 2.\left| {{{( - 5)}^3}} \right| + 3.\left| {{{( - 2)}^4}} \right| \cr  & = 2.\left| { - 125} \right| + 3.\left| {16} \right| \cr  & = 2.125 + 3.16 = 298 \cr} \)

=>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong chuyên đề căn thức bậc hai và hằng đẳng thức lớp 9 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài

****************

Trên đây là lý thuyết căn thức bậc hai và hằng đẳng thức bao gồm các kiến thức cần nắm và những dạng bài liên quan. Hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích phục vụ việc học tập của các em. Ngoài ra, các em hãy truy cập doctailieu.com để tham khảo thêm nhiều tài liệu học Toán lớp 9 phong phú khác mà chúng tôi đã sưu tầm và tổng hợp nhé. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!