Hướng dẫn trả lời câu hỏi và giải bài tập Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 giúp học sinh nắm được các cách giải bài tập Chương 1: Đa thức chuẩn bị bài trước khi tới lớp và luyện tập giải toán tại nhà.
Chương 1 Bài 4: Phép nhân đa thức
Mở đầu trang 19 Toán 8 Tập 1: Giả sử độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật được biểu thị bởi M = x + 3y + 2 và N = x + y. Khi đó, diện tích của hình chữ nhật được biểu thị bởi MN = (x + 3y + 2)(x + y).
Trong tình huống này, ta phải nhân hai đa thức M và N. Phép nhân đó được thực hiện như thế nào và kết quả có phải là một đa thức hay không?
Lời giải:
Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:
Ta thực hiện phép nhân đa thức M và N, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức M với từng hạng tử của đa thức N rồi cộng các kết quả với nhau.
Ta thực hiện như sau:
MN = (x + 3y + 2)(x + y)
\(= x . x + 3y . x + 2 . x + x . y + 3y . y + 2 . y\)
\(= x^2 + 3xy + 2x + xy + 3y^2 + 2y\)
\(= x^2 + 4xy + 2x + 3y^2 + 2y\).
Kết quả của phép nhân hai đa thức M và N là một đa thức.
Luyện tập 1 trang 19 Toán 8 Tập 1: Nhân hai đơn thức:
a) \(3x^2 \,và\, 2x^3\);
b) \(–xy \,và \,4z^3\);
c) \(6xy^3\, và \,–0,5x^2\).
Lời giải:
a) \(3x^2 . 2x^3 = (3. 2)(x^2 . x^3) = 6x^5\);
b) \(–xy . 4z^3 = –4xyz^3\);
c) \(6xy^3 . (–0,5x^2) = [6 . (–0,5)] (x . x^2) y^3 = –3x^3y^3\).
HĐ1 trang 20 Toán 8 Tập 1: Hãy nhớ lại quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp chúng có một biến bằng cách thực hiện phép nhân \((5x^2) . (3x^2 – x – 4)\).
Lời giải:
Ta có \((5x^2) . (3x^2 – x – 4) = 5x^2 . 3x^2 – 5x^2 . x – 5x^2 . 4\)
\(= 15x^4 – 5x^3 – 20x^2\).
HĐ2 trang 20 Toán 8 Tập 1: Bằng cách tương tự, hãy làm phép nhân \((5x^2y) . (3x^2y – xy – 4y).\)
Lời giải:
Ta có \((5x^2y) . (3x^2y – xy – 4y) = 5x^2y . 3x^2y – 5x^2y . xy – 5x^2y . 4y\)
\(= 5x^2y . 3x^2y – 5x^2y . xy – 5x^2y . 4y\)
Luyện tập 2 trang 20 Toán 8 Tập 1: Làm tính nhân:
a) \((xy) . (x^2 + xy – y^2)\);
b) (xy + yz + zx) . (–xyz).
Lời giải:
a) \((xy) . (x^2 + xy – y^2) = xy . x^2 + xy . xy – xy . y^2\)
\(= x^3y + x^2y^2 – xy^3\).
b) (xy + yz + zx) . (–xyz) = xy . (–xyz) + yz . (–xyz) + zx . (–xyz)
\(= –x^2y^2z – xy^2z^2 – x^2yz^2\).
Vận dụng trang 20 Toán 8 Tập 1:
Rút gọn biểu thức: \(x^3(x + y) – x(x^3 + y^3)\).Lời giải:
Ta có \(x^3(x + y) – x(x^3 + y^3) = x^3 . x + x^3 . y – x^3 . x – x . y^3\)
\(= x^4 + x^3y – x^4 – xy^3 = x^3y – xy^3\).
HĐ3 trang 21 Toán 8 Tập 1: Hãy nhớ lại quy tắc nhân hai đa thức một biến bằng cách thực hiện phép nhân:
\((2x + 3) . (x^2 – 5x + 4)\).
Lời giải:
Ta có \((2x + 3) . (x^2 – 5x + 4)\)
\(= 2x . x^2 – 2x . 5x + 2x . 4 + 3 . x^2 – 3 . 5x + 3 . 4\)
\(= 2x^3 – 10x^2 + 8x + 3x^2 – 15x + 12\)
\(= 2x^3 + (3x2 – 10x^2) + (8x – 15x) + 12\)
\(= 2x^3 – 7x^2 – 7x + 12\).
HĐ4 trang 21 Toán 8 Tập 1: Bằng cách tương tự, hãy thử làm phép nhân \((2x + 3y) . (x^2 – 5xy + 4y^2)\).
Lời giải:
Ta có \((2x + 3y) . (x^2 – 5xy + 4y^2)\)
\(= 2x . x^2 – 2x . 5xy + 2x . 4y^2 + 3y . x^2 – 3y . 5xy + 3y . 4y^2\)
\(= 2x^3 – 10x^2y + 8xy^2 + 3x^2y – 15xy^2 + 12y^3\)
\(= (2x^3 + 12y^3) + (3x^2y – 10x^2y) + (8xy^2 – 15xy^2)\)
\(= 14y^3 – 7x^2y – 7xy^2\).
HĐ5 trang 21 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép nhân:
a) \((2x + y)(4x^2 – 2xy + y^2)\);
b) \((x^2y^2 – 3)(3 + x^2y^2)\).
Lời giải:
a) \((2x + y)(4x^2 – 2xy + y^2)\)
\(= 2x . 4x^2 – 2x . 2xy + 2x . y^2 + y . 4x^2 – y . 2xy + y . y^2\)
\(= 8x^3 – 4x^2y + 2xy^2 + 4x^2y – 2xy^2 + y^3\)
\(= 8x^3 + (4x^2y – 4x^2y) + (2xy^2 – 2xy^2) + y^3\)
\(= 8x^3 + y^3\).
b) \((x^2y^2 – 3)(3 + x^2y^2) = x^2y^2 . 3 + x^2y^2 . x^2y^2 – 3 . 3 – 3 . x^2y^2\)
\(= 3x^2y^2 + x^4y^4 – 9 – 3x^2y^2 = x^4y^4 – 9\).
Thử thách nhỏ trang 21 Toán 8 Tập 1: Xét biểu thức đại số với hai biến k và m sau:
P = (2k – 3)(3m – 2) – (3k – 2)(2m – 3).
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Chứng minh rằng tại mọi giá trị nguyên của k và m, giá trị của biểu thức P luôn là một số nguyên chia hết cho 5.
Lời giải:
a) P = (2k – 3)(3m – 2) – (3k – 2)(2m – 3)
= (6km – 9m – 4k + 6) – (6km – 4m – 9k + 6)
= 6km – 9m – 4k + 6 – 6km + 4m + 9k – 6
= (6km – 6km) + (4m – 9m) + (9k – 4k) + (6 – 6) = 5k – 5m.
b) Ta thấy P = 5k – 5m = 5(k – m)
Vì 5 ⋮ 5 nên 5(k – m) ⋮ 5
Do đó, tại mọi giá trị nguyên của k và m, giá trị của biểu thức P luôn là một số nguyên chia hết cho 5.
Bài 1.24 trang 21 Toán 8 Tập 1: Nhân hai đơn thức:
a) \(5x^2y \,và \,2xy^2\);
b) \(\dfrac{3}{4}xy \,và \,8x^3y^3\);
c) \(1,5xy^2z^3 và 2x^3y^2z\).
Lời giải:
a) \(5x^2y . 2xy^2 = (5. 2)(x^2 . x)(y . y^2)\);
b) \(\dfrac{3}{4}xy.8x^3y^3 = (\dfrac{3}{4}.8)(x.x^3)(y.y^3) = 6x^4y^4\);
c) \(1,5xy^2z^3 . 2x^3y^2z = (1,5 . 2)(x . x^3)(y^2 . y^2)(z . z^3) = 3x^4y^4z^4\).
Bài 1.25 trang 21 Toán 8 Tập 1: Tìm tích của đơn thức với đa thức:
a) \((−0,5)xy^2 (2xy – x^2 + 4y)\);
b) \((x^3y - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}xy)6xy^3\)
Lời giải:
a) \((−0,5)xy^2 (2xy – x^2 + 4y) = (−0,5)xy^2 . 2xy + 0,5xy^2 . x^2 − 0,5xy^2 . 4y\)
\(= −x^2y^3 + 0,5x^3y^2 − 2xy^3\);
b) \((x^3y - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}xy)6xy^3\)
\(= x^3y.6xy^3 - \dfrac{1}{2}x^2.6xy^3 + \dfrac{1}{3}xy.6xy^3\)
\(= 6x^4y^4 - 3x^3y^3 +2x^2y^4\)
Bài 1.26 trang 21 Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức: \(x(x^2 – y) – x^2(x + y) + xy(x – 1)\).
Lời giải:
Ta có \(x(x^2 – y) – x^2(x + y) + xy(x – 1)\)
\(= x . x^2 – x . y – x^2 . x – x^2 . y + xy . x – xy . 1\)
\(= x^3 – xy – x^3 – x^2y + x^2y – xy\)
\(= (x^3 – x^3) + (x^2y – x^2y) – (xy + xy) = –2xy\).
Bài 1.27 trang 21 Toán 8 Tập 1: Làm tính nhân:
a) \((x^2 – xy + 1)(xy + 3)\);
b) \((x^2y^2 - \dfrac{1}{2}xy + 2)(x-2y)\)
Lời giải:
a) \((x^2 – xy + 1)(xy + 3)\)
\(= x^2 . xy – xy . xy + 1 . xy + x^2 . 3 – xy . 3 + 1 . 3\)
\(= x^3y – x^2y^2 + xy + 3x^2 – 3xy + 3\)
\(= x^3y – x^2y^2 + (xy – 3xy) + 3x^2 + 3\)
\(= x^3y – x^2y^2 – 2xy + 3x^2 + 3\).
b) \((x^2y^2 - \dfrac{1}{2}xy + 2)(x-2y)\)
\(= x^2y^2.x - \dfrac{1}{2}xy.x + 2.x - x^2y^2.2y + \dfrac{1}{2}xy.2y - 2.2y\)
\(= x^3y^2 - \dfrac{1}{2}x^2y + 2x-2x^2y^3 + xy^2-4y\)
Bài 1.28 trang 21 Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức sau để thấy rằng giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của biến: (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7.
Lời giải:
Ta có (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7
= x . 2x – 5 . 3 – 2x . x + 2x . 3 + x + 7
= \(2x^2 – 15 – 2x^2 + 6x + x + 7\)
= \((2x^2 – 2x^2) + (6x + x) + (7 – 15) = 7x – 7\).
Bài 1.29 trang 21 Toán 8 Tập 1: Chứng minh đẳng thức sau: \((2x + y)(2x^2 + xy – y^2) = (2x – y)(2x^2 + 3xy + y^2)\).
Lời giải:
Ta có:
- \((2x + y)(2x^2 + xy – y^2)\)
= \(2x . 2x^2 + 2x . xy – 2x . y^2 + y . 2x^2 + y . xy – y . y^2\)
= \(4x^3 + 2x^2y – 2xy^2 + 2x^2y + xy^2 – y^3\)
= \(4x^3 + (2x^2y + 2x^2y) + (xy^2 – 2xy^2) – y^3\)
= \(4x^3 + 4x^2y – xy^2 – y^3\).
- \((2x – y)(2x^2 + 3xy + y^2)\)
\(= 2x . 2x^2 + 2x . 3xy + 2x . y^2 – y . 2x^2 – y . 3xy – y . y^2\)
\(= 4x^3 + 6x^2y + 2xy^2 – 2x^2y – 3xy^2 – y^3\)
\(= 4x^3 + (6x^2y – 2x^2y) + (2xy^2 – 3xy^2) – y^3\)
\(= 4x^3 + 4x^2y – xy^2 – y^3\).
Do đó \((2x + y)(2x^2 + xy – y^2) = (2x – y)(2x^2 + 3xy + y^2)\)
\(= 4x^3 + 4x^2y – xy^2 – y^3\).
Vậy \((2x + y)(2x^2 + xy – y^2) = (2x – y)(2x^2 + 3xy + y^2)\).
-//-
Hy vọng với nội dung trả lời chi tiết câu hỏi trong Bài 4: Phép nhân đa thức giúp học sinh nắm được nội dung bài học và ghi nhớ những nội dung chính, quan trọng trong chương trình học Toán học 8.