Giải Toán 8 Kết nối tri thức Phép nhân đa thức

Hướng dẫn trả lời câu hỏi và giải bài tập Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 giúp học sinh nắm được các cách giải bài tập Chương 1: Đa thức chuẩn bị bài trước khi tới lớp và luyện tập giải toán tại nhà.

Chương 1 Bài 4: Phép nhân đa thức

Mở đầu trang 19 Toán 8 Tập 1: Giả sử độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật được biểu thị bởi M = x + 3y + 2 và N = x + y. Khi đó, diện tích của hình chữ nhật được biểu thị bởi MN = (x + 3y + 2)(x + y).

Trong tình huống này, ta phải nhân hai đa thức M và N. Phép nhân đó được thực hiện như thế nào và kết quả có phải là một đa thức hay không?

Lời giải:

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:

Ta thực hiện phép nhân đa thức M và N, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức M với từng hạng tử của đa thức N rồi cộng các kết quả với nhau.

Ta thực hiện như sau:

MN = (x + 3y + 2)(x + y)

$= x . x + 3y . x + 2 . x + x . y + 3y . y + 2 . y$

$= x^2 + 3xy + 2x + xy + 3y^2 + 2y$

$= x^2 + 4xy + 2x + 3y^2 + 2y$.

Kết quả của phép nhân hai đa thức M và N là một đa thức.

Luyện tập 1 trang 19 Toán 8 Tập 1: Nhân hai đơn thức:

a) $3x^2 \,và\, 2x^3$;

b) $–xy \,và \,4z^3$;

c) $6xy^3\, và \,–0,5x^2$.

Lời giải:

a) $3x^2 . 2x^3 = (3. 2)(x^2 . x^3) = 6x^5$;

b) $–xy . 4z^3 = –4xyz^3$;

c) $6xy^3 . (–0,5x^2) = [6 . (–0,5)] (x . x^2) y^3 = –3x^3y^3$.

HĐ1 trang 20 Toán 8 Tập 1: Hãy nhớ lại quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp chúng có một biến bằng cách thực hiện phép nhân $(5x^2) . (3x^2 – x – 4)$.

Lời giải:

Ta có $(5x^2) . (3x^2 – x – 4) = 5x^2 . 3x^2 – 5x^2 . x – 5x^2 . 4$

$= 15x^4 – 5x^3 – 20x^2$.

HĐ2 trang 20 Toán 8 Tập 1: Bằng cách tương tự, hãy làm phép nhân $(5x^2y) . (3x^2y – xy – 4y).$

Lời giải:

Ta có $(5x^2y) . (3x^2y – xy – 4y) = 5x^2y . 3x^2y – 5x^2y . xy – 5x^2y . 4y$

$= 5x^2y . 3x^2y – 5x^2y . xy – 5x^2y . 4y$

Luyện tập 2 trang 20 Toán 8 Tập 1: Làm tính nhân:

a) $(xy) . (x^2 + xy – y^2)$;

b) (xy + yz + zx) . (–xyz).

Lời giải:

a) $(xy) . (x^2 + xy – y^2) = xy . x^2 + xy . xy – xy . y^2$

$= x^3y + x^2y^2 – xy^3$.

b) (xy + yz + zx) . (–xyz) = xy . (–xyz) + yz . (–xyz) + zx . (–xyz)

$= –x^2y^2z – xy^2z^2 – x^2yz^2$.

Vận dụng trang 20 Toán 8 Tập 1:

Lời giải:

Ta có $x^3(x + y) – x(x^3 + y^3) = x^3 . x + x^3 . y – x^3 . x – x . y^3$

$= x^4 + x^3y – x^4 – xy^3 = x^3y – xy^3$.

HĐ3 trang 21 Toán 8 Tập 1: Hãy nhớ lại quy tắc nhân hai đa thức một biến bằng cách thực hiện phép nhân:

$(2x + 3) . (x^2 – 5x + 4)$.

Lời giải:

Ta có $(2x + 3) . (x^2 – 5x + 4)$

$= 2x . x^2 – 2x . 5x + 2x . 4 + 3 . x^2 – 3 . 5x + 3 . 4$

$= 2x^3 – 10x^2 + 8x + 3x^2 – 15x + 12$

$= 2x^3 + (3x2 – 10x^2) + (8x – 15x) + 12$

$= 2x^3 – 7x^2 – 7x + 12$.

HĐ4 trang 21 Toán 8 Tập 1: Bằng cách tương tự, hãy thử làm phép nhân $(2x + 3y) . (x^2 – 5xy + 4y^2)$.

Lời giải:

Ta có $(2x + 3y) . (x^2 – 5xy + 4y^2)$

$= 2x . x^2 – 2x . 5xy + 2x . 4y^2 + 3y . x^2 – 3y . 5xy + 3y . 4y^2$

$= 2x^3 – 10x^2y + 8xy^2 + 3x^2y – 15xy^2 + 12y^3$

$= (2x^3 + 12y^3) + (3x^2y – 10x^2y) + (8xy^2 – 15xy^2)$

$= 14y^3 – 7x^2y – 7xy^2$.

HĐ5 trang 21 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép nhân:

a) $(2x + y)(4x^2 – 2xy + y^2)$;

b) $(x^2y^2 – 3)(3 + x^2y^2)$.

Lời giải:

a) $(2x + y)(4x^2 – 2xy + y^2)$

$= 2x . 4x^2 – 2x . 2xy + 2x . y^2 + y . 4x^2 – y . 2xy + y . y^2$

$= 8x^3 – 4x^2y + 2xy^2 + 4x^2y – 2xy^2 + y^3$

$= 8x^3 + (4x^2y – 4x^2y) + (2xy^2 – 2xy^2) + y^3$

$= 8x^3 + y^3$.

b) $(x^2y^2 – 3)(3 + x^2y^2) = x^2y^2 . 3 + x^2y^2 . x^2y^2 – 3 . 3 – 3 . x^2y^2$

$= 3x^2y^2 + x^4y^4 – 9 – 3x^2y^2 = x^4y^4 – 9$.

Thử thách nhỏ trang 21 Toán 8 Tập 1: Xét biểu thức đại số với hai biến k và m sau:

P = (2k – 3)(3m – 2) – (3k – 2)(2m – 3).

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Chứng minh rằng tại mọi giá trị nguyên của k và m, giá trị của biểu thức P luôn là một số nguyên chia hết cho 5.

Lời giải:

a) P = (2k – 3)(3m – 2) – (3k – 2)(2m – 3)

= (6km – 9m – 4k + 6) – (6km – 4m – 9k + 6)

= 6km – 9m – 4k + 6 – 6km + 4m + 9k – 6

= (6km – 6km) + (4m – 9m) + (9k – 4k) + (6 – 6) = 5k – 5m.

b) Ta thấy P = 5k – 5m = 5(k – m)

Vì 5 ⋮ 5 nên 5(k – m) ⋮ 5

Do đó, tại mọi giá trị nguyên của k và m, giá trị của biểu thức P luôn là một số nguyên chia hết cho 5.

Bài 1.24 trang 21 Toán 8 Tập 1: Nhân hai đơn thức:

a) $5x^2y \,và \,2xy^2$;

b) $\dfrac{3}{4}xy \,và \,8x^3y^3$;

c) $1,5xy^2z^3 và 2x^3y^2z$.

Lời giải:

a) $5x^2y . 2xy^2 = (5. 2)(x^2 . x)(y . y^2)$;

b) $\dfrac{3}{4}xy.8x^3y^3 = (\dfrac{3}{4}.8)(x.x^3)(y.y^3) = 6x^4y^4$;

c) $1,5xy^2z^3 . 2x^3y^2z = (1,5 . 2)(x . x^3)(y^2 . y^2)(z . z^3) = 3x^4y^4z^4$.

Bài 1.25 trang 21 Toán 8 Tập 1: Tìm tích của đơn thức với đa thức:

a) $(−0,5)xy^2 (2xy – x^2 + 4y)$;

b) $(x^3y - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}xy)6xy^3$

Lời giải:

a) $(−0,5)xy^2 (2xy – x^2 + 4y) = (−0,5)xy^2 . 2xy + 0,5xy^2 . x^2 − 0,5xy^2 . 4y$

$= −x^2y^3 + 0,5x^3y^2 − 2xy^3$;

b) $(x^3y - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}xy)6xy^3$

$= x^3y.6xy^3 - \dfrac{1}{2}x^2.6xy^3 + \dfrac{1}{3}xy.6xy^3$

$= 6x^4y^4 - 3x^3y^3 +2x^2y^4$

Bài 1.26 trang 21 Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức: $x(x^2 – y) – x^2(x + y) + xy(x – 1)$.

Lời giải:

Ta có $x(x^2 – y) – x^2(x + y) + xy(x – 1)$

$= x . x^2 – x . y – x^2 . x – x^2 . y + xy . x – xy . 1$

$= x^3 – xy – x^3 – x^2y + x^2y – xy$

$= (x^3 – x^3) + (x^2y – x^2y) – (xy + xy) = –2xy$.

Bài 1.27 trang 21 Toán 8 Tập 1: Làm tính nhân:

a) $(x^2 – xy + 1)(xy + 3)$;

b) $(x^2y^2 - \dfrac{1}{2}xy + 2)(x-2y)$

Lời giải:

a) $(x^2 – xy + 1)(xy + 3)$

$= x^2 . xy – xy . xy + 1 . xy + x^2 . 3 – xy . 3 + 1 . 3$

$= x^3y – x^2y^2 + xy + 3x^2 – 3xy + 3$

$= x^3y – x^2y^2 + (xy – 3xy) + 3x^2 + 3$

$= x^3y – x^2y^2 – 2xy + 3x^2 + 3$.

b) $(x^2y^2 - \dfrac{1}{2}xy + 2)(x-2y)$

$= x^2y^2.x - \dfrac{1}{2}xy.x + 2.x - x^2y^2.2y + \dfrac{1}{2}xy.2y - 2.2y$

$= x^3y^2 -  \dfrac{1}{2}x^2y + 2x-2x^2y^3 + xy^2-4y$

Bài 1.28 trang 21 Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức sau để thấy rằng giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của biến: (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7.

Lời giải:

Ta có (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7

= x . 2x – 5 . 3 – 2x . x + 2x . 3 + x + 7

= $2x^2 – 15 – 2x^2 + 6x + x + 7$

= $(2x^2 – 2x^2) + (6x + x) + (7 – 15) = 7x – 7$.

Bài 1.29 trang 21 Toán 8 Tập 1: Chứng minh đẳng thức sau: $(2x + y)(2x^2 + xy – y^2) = (2x – y)(2x^2 + 3xy + y^2)$.

Lời giải:

Ta có:

- $(2x + y)(2x^2 + xy – y^2)$

= $2x . 2x^2 + 2x . xy – 2x . y^2 + y . 2x^2 + y . xy – y . y^2$

= $4x^3 + 2x^2y – 2xy^2 + 2x^2y + xy^2 – y^3$

= $4x^3 + (2x^2y + 2x^2y) + (xy^2 – 2xy^2) – y^3$

= $4x^3 + 4x^2y – xy^2 – y^3$.

- $(2x – y)(2x^2 + 3xy + y^2)$

$= 2x . 2x^2 + 2x . 3xy + 2x . y^2 – y . 2x^2 – y . 3xy – y . y^2$

$= 4x^3 + 6x^2y + 2xy^2 – 2x^2y – 3xy^2 – y^3$

$= 4x^3 + (6x^2y – 2x^2y) + (2xy^2 – 3xy^2) – y^3$

$= 4x^3 + 4x^2y – xy^2 – y^3$.

Do đó $(2x + y)(2x^2 + xy – y^2) = (2x – y)(2x^2 + 3xy + y^2)$

$= 4x^3 + 4x^2y – xy^2 – y^3$.

Vậy $(2x + y)(2x^2 + xy – y^2) = (2x – y)(2x^2 + 3xy + y^2)$.

-//-

Hy vọng với nội dung trả lời chi tiết câu hỏi trong Bài 4: Phép nhân đa thức giúp học sinh nắm được nội dung bài học và ghi nhớ những nội dung chính, quan trọng trong chương trình học Toán học 8.