Hướng dẫn trả lời câu hỏi và giải bài tập Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 giúp học sinh nắm được các cách giải bài tập Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng chuẩn bị bài trước khi tới lớp và luyện tập giải toán tại nhà.
Chương 8 Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu
Mở đầu trang 34 Toán 8 Tập 1: Chúng mình đã biết công thức \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), còn công thức tính \((a + b)^3\) thì sao nhỉ?
Lời giải:
Ta đưa \((a + b)^3\) về phép nhân đa thức:
\((a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2\).
1. Lập phương của một tổng
HĐ1 trang 34 Toán 8 Tập 1: Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính \((a + b)(a + b)^2\). Từ đó rút ra liên hệ giữa \((a + b)^3 và a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\).
Lời giải:
Ta có \((a + b)(a + b)^2 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2)\)
\(= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3\)
\(= a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3\)
\(= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\).
Ta có \((a + b)(a + b)^2 = (a + b)^3; (a + b)(a + b)^2 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\).
Vậy \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\).
Luyện tập 1 trang 35 Toán 8 Tập 1:
1. Khai triển
a) \((x + 3)^3\);
b) \((x + 2y)^3\).
2. Rút gọn biểu thức \((2x + y)^3 – 8x^3 – y^3\).
Lời giải:
1.
a) \((x + 3)^3 = x^3 + 3 . x^2 . 3 + 3 . x . 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27\);
b) \((x + 2y)^3 = x^3 + 3 . x^2 . 2y + 3 . x . (2y)^2 + (2y)^3\)
\(= x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3\).
2.
\((2x + y)^3 – 8x^3 – y^3\)
\(= (2x)^3 + 3 . (2x)^2 . y + 3 . 2x . y^2 + y^3 – 8x^3 – y^3\)
\(= 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 – 8x^3 – y^3\)
\(= (8x^3 – 8x^3) + 12x^2y + 6xy^2 + (y^3 – y^3) = 12x^2y + 6xy^2\).
Luyện tập 2 trang 35 Toán 8 Tập 1: Viết biểu thức \(x^3 + 9x^2y + 27xy^2 + 27y^3\) dưới dạng lập phương của một tổng.
Lời giải:
Ta có: \(x^3 + 9x^2y + 27xy^2 + 27y^3\)
\(= x^3 + 3x^2 . 3y + 3 . x . (3y)^2 + (3y)^3 = (x + 3y)^3.\)
Vậy \(x^3 + 9x^2y + 27xy^2 + 27y^3 = (x + 3y)^3\).
2. Lập phương của một hiệu
HĐ2 trang 35 Toán 8 Tập 1: Với hai số a, b bất kì, viết a – b = a + (–b) và áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng để tính \((a – b)^3\).
Từ đó rút ra liên hệ giữa \((a – b)^3\) và \(a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\).
Lời giải:
\((a – b)^3 = [a + (–b)]^3 = a^3 + 3a^2(−b) + 3a(−b)^2 + (–b)^3\)
\(= a^3 − 3a^2b + 3ab^2 – b^3\).
Do đó \((a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\).
Luyện tập 3 trang 35 Toán 8 Tập 1: Khai triển \((2x – y)^3\).
Lời giải:
Ta có \((2x – y)^3 = (2x)^3 – 3 . (2x)^2 . y + 3 . 2x . y^2 – y^3\)
\(= 8x^3 – 12x^2y + 6xy^2 – y^3\).
Luyện tập 4 trang 36 Toán 8 Tập 1: Viết biểu thức dưới dạng lập phương của một hiệu
\(8x^3 – 36x^2y + 54xy^2 – 27y^3\).
Lời giải:
Ta có \(8x^3 – 36x^2y + 54xy^2 – 27y^3\)
\(= (2x)^3 – 3 . (2x)^2 . 3y + 3 . (2x) . (3y)^2 – (3y)^3 = (2x – 3y)^3.\)
Vận dụng trang 36 Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức: \((x – y)^3 + (x + y)^3\).
Lời giải:
Ta có \((x – y)^3 + (x + y)^3\)
\(= x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 + x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\)
\(= (x^3 + x^3) + (3x^2y – 3x^2y) + (3xy^2 + 3xy^2) + (y^3 – y^3) = 2x^3 + 6xy^2.\)
Bài tập
Bài 2.8 trang 36 Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu.
a) \(27 + 54x + 36x^2 + 8x^3\);
b) \(64x^3 – 144x^2y + 108xy^2 – 27y^3\).
Lời giải:
a) \(27 + 54x + 36x^2 + 8x^3\)
\(= 3^3 + 3 . 3^2 . 2x + 3 . 3 . (2x)^2 + (2x)^3\)
\(= (3 + 2x)^3\);
b) \(64x^3 – 144x^2y + 108xy^2 – 27y^3\)
\(= (4x)^3 – 3 . (4x)^2 . 3y + 3 . 4x . (3y)^2 – (3y)^3\)
\(= (4x – 3y)^3\).
Bài 2.9 trang 36 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh giá trị của biểu thức:
a) \(x^3 + 9x^2 + 27x + 27\) tại x = 7;
b) \(27 – 54x + 36x^2 – 8x^3\) tại x = 6,5.
Lời giải:
a) Ta có: \(x^3 + 9x^2 + 27x + 27\)
\(= x^3 + 3 . x^2 . 3 + 3 . x . 3^2 + 3^3 = (x + 3)^3.\)
Thay x = 7 vào biểu thức \((x + 3)^3\), ta được:
\((7 + 3)^3 = 10^3 = 1 000\).
b) Ta có \(27 – 54x + 36x^2 – 8x^3\)
\(= 3^3 – 3 . 3^2 . 2x + 3 . 3 . (2x)^2 – (2x)^3 = (3 – 2x)^3\).
Thay x = 6,5 vào biểu thức \((3 – 2x)^3\), ta được:
\((3 – 2 . 6,5)^3 = (3 – 13)^3 = (–10)^3 = –1 000\).
Bài 2.10 trang 36 Toán 8 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) \((x – 2y)^3 + (x + 2y)^3\);
b) \((3x + 2y)^3 + (3x – 2y)^3\).
Lời giải:
a) \((x – 2y)^3 + (x + 2y)^3\)
\(= x^3 – 3 . x^2 . 2y + 3 . x . (2y)^2 – (2y)^3 + x^3 + 3 . x^2 . 2y + 3 . x . (2y)^2 + (2y)^3\)
\(= x^3 – 6x^2y + 12xy^2– 8y^3 + x^3 + 6x^2y + 12xy^2+ 8y^3\)\(= (x^3 + x^3) + (6x^2y – 6x^2y) + (12xy^2+ 12xy^2) + (8y^3 – 8y^3) = 2x^3 + 24xy^2.\)
b) \((3x + 2y)^3 + (3x – 2y)^3\)
\(= (3x)^3 + 3 . (3x)^2 . 2y + 3 . 3x . (2y)^2 + (2y)3 + (3x)^3 – 3 . (3x)^2 . 2y + 3 . 3x . (2y)^2 – (2y)^3\)
\(= (3x)^3 + 3 . 3x . (2y)^2 + (3x)^3 + 3 . 3x . (2y)^2\)
\(= 27x^3 + 36xy^2 + 27x^3 + 36xy^2\)
\(= 54x^3 + 72xy^2\).
Bài 2.11 trang 36 Toán 8 Tập 1: Chứng minh\( (a – b)^3 = – (b – a)^3\).
Lời giải:
Ta có
• \((a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\);
\(– (b – a)^3 = – (b^3 – 3b^2a + 3ba^2 – a^3)\)
\(= – b^3 + 3b^2a – 3ba^2 + a^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b3\).
Vậy \((a – b)^3 = – (b – a)^3\).
-//-
Hy vọng với nội dung trả lời chi tiết câu hỏi trong Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu giúp học sinh nắm được nội dung bài học và ghi nhớ những nội dung chính, quan trọng trong chương trình học Toán học 8.