Bài 2 trang 40 sgk hình học lớp 10

Đề bài

Cho $A O B$ là tam giác cân tại $O$ có $O A=a$ và có các đường cao $O H$ và $A K$. Giả sử $\widehat{A O H}=\alpha .$ Tính $A K$ và $O K$ theo $a$ và $\alpha$

Giải bài 2 trang 40 sgk hình học lớp 10

Hướng dẫn cách giải

+) Sử dụng công thức lượng giác đối với góc nhọn ta có:

$\sin \alpha=\frac{cạnh \text { đối }}{c a n h \text { huyền }}$ và $\cos \alpha=\frac{\operatorname{cạnh\ kề}}{\operatorname{cạnh \ huyền }}$

Bài làm

TH1: $\alpha < 45^0$

Do tam giác $OAB$ cân tại $O$ nên ta có $\widehat {AOB} = 2\widehat {AOH}=2\alpha < 90^0$

Tam giác $OKA$ vuông tại $K$ nên ta có:

$\sin \widehat {AOK} = \frac{{AK}}{{OA}}$

$\Rightarrow AK = OA.\sin \widehat {AOK}$$\Rightarrow AK = a.\sin 2\alpha.$

$\cos \widehat {AOK} = \frac{{OK}}{{OA}}$

$\Rightarrow OK = OA.cos\widehat {AOK}$$\Rightarrow OK = a.\cos 2\alpha .$

TH2: $\alpha > 45^0$

Do tam giác $OAB$ cân tại $O$ nên ta có $\widehat {AOB} = 2\widehat {AOH}=2\alpha > 90^0$

Tam giác AKO vuông tại K có AO=a, $\widehat {AOK} = {180^0} - \widehat {AOB} = {180^0} - 2\alpha$

Khi đó:

$\begin{array}{l}\sin \widehat {AOK} = \frac{{AK}}{{OA}}\\ \Rightarrow AK = OA\sin \widehat {AOK}\\ = a\sin \left( {{{180}^0} - 2\alpha } \right) = a\sin 2\alpha \\\cos \widehat {AOK} = \frac{{OK}}{{OA}}\\ \Rightarrow OK = OA\cos \widehat {AOK}\\ = a\cos \left( {{{180}^0} - 2\alpha } \right) =  - a\cos 2\alpha \end{array}$