Bạn đang tìm kiếm tài liệu tổng hợp kiến thức về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai? Hãy tham khảo ngay bài viết dưới đây của Đọc tài liệu với những lý thuyết rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai cùng tổng hợp các dạng toán cơ bản thường gặp. Đây sẽ là tài liệu học tập hữu ích cho học sinh và đồng thời giúp các thầy cô có thêm tài liệu hay phục vụ việc dạy học.
Cùng tham khảo nhé!
I. Lý thuyết về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Khi thực hiện rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta phải vận dụng mọi quy tắc và mọi tính chất của các phép tính trên các số thực nói chung và trên các căn thức nói riêng như:
- Phép nhân, phép chia các căn bậc hai;
- Phép khai phương một tích, một thương;
- Phép đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn;
- Phép khử mẫu của biểu thức dưới căn;
- Phép trục căn thức ở mẫu.
Nói riêng, khi làm tính cộng hoặc trừ trên các căn thức, ta thường dùng các phép đưa thừa số vào trong hoặc ra ngoài dấu căn để được những căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn rối áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ.
Ví dụ:
Rút gọn biểu thức \(B = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x \ge 0;\,\,x \ne 4.\)
Ta có
\(\begin{array}{l}B = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} \\= \dfrac{x}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}\\ = \dfrac{x}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\= \dfrac{{x + \sqrt x + 2 + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} \\= \dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\= \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} \\= \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\end{array}\)
Vậy \(B= \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x \ge 0;\,\,x \ne 4.\)
II. Một số dạng toán thường gặp rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Dạng 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa căn thức bậc hai.
Phương pháp:
- Vận dụng linh hoạt các phép biến đổi đã biết và tính toán để xuất hiện các căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn
-Cộng, trừ, nhân, chia các căn thức bậc hai cùng loại với nhau.
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức chứa căn thức bậc hai.
Phương pháp:
Vận dụng thích hợp các phép biến đổi đã học và các hằng đẳng thức đáng nhớ, các cách phân tích đa thức thành nhân tử để thực hiện phép chứng minh.
Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn và các bài toán liên quan.
Phương pháp:
- Ta sử dụng thích hợp các phép phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn để rút gọn.
- Các bài toán liên quan :
+) Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến, giải phương trình hoặc bất phương trình để tìm biến.
+) Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên
+) So sánh biểu thức với một số
+) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Dạng 4: Giải phương trình chứa căn thức bậc hai.
Phương pháp:
Ta sử dụng thích hợp các phép phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn để đưa phương trình đã cho về dạng cơ bản.
III. Bài tập mẫu rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Tìm \(x\) biết:
a) \( \displaystyle\sqrt {4x + 20} - 3\sqrt {5 + x} + {4 \over 3}\sqrt {9x + 45} = 6;\)
b) \(\displaystyle\sqrt {25x - 25} - {{15} \over 2}\sqrt {{{x - 1} \over 9}} = 6 + \sqrt {x - 1} . \)
Lời giải
a) Điều kiện : \(x \ge - 5\)
Ta có:
\(\sqrt {4x + 20} - 3\sqrt {5 + x} + {\dfrac{4}{3}}\sqrt {9x + 45} = 6\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {4(x + 5)} - 3\sqrt {5 + x} + {\dfrac{4}{3}}\sqrt {9(x + 5)} = 6\)
\( \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 5} - 3\sqrt {x + 5} + 4\sqrt {x + 5} = 6\)
\(\Leftrightarrow 3\sqrt {x + 5} = 6\)
\(\Leftrightarrow \sqrt {x + 5} = 2\)
\(\Leftrightarrow x + 5 = 4 \Leftrightarrow x = - 1\)
Giá trị \(x\) = -1 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy \(x\) = -1.
b) Điều kiện: \(x \ge 1 \)
Ta có:
\( \displaystyle\sqrt {25x - 25} - {{15} \over 2}\sqrt {{{x - 1} \over 9}} = 6 + \sqrt {x - 1} \)
\( \displaystyle \Leftrightarrow \sqrt {25(x - 1)} - {5 \over 2}\sqrt {x - 1} - \sqrt {x - 1} = 6\)
\( \displaystyle \Leftrightarrow 5\sqrt {x - 1} - {5 \over 2}\sqrt {x - 1} - \sqrt {x - 1} = 6\)
\( \displaystyle \Leftrightarrow {3 \over 2}\sqrt {x - 1} = 6 \displaystyle \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 6.{2 \over 3}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 4\)
\( \displaystyle \Leftrightarrow x - 1 = 16 \Leftrightarrow x = 17\)
Giá trị \(x\) = 17 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy \(x\) = 17.
=>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong chuyên đề rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai lớp 9 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài
-------------------------------
Hy vọng với hệ thống kiến thức lý thuyết rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai trên đây, các em sẽ có thêm một tài liệu học tập hữu ích để học tốt hơn môn Toán 9. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!