Mời các em tham khảo tổng hợp lý thuyết biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai cùng một số dạng bài thường gặp và hướng dẫn cách làm, qua đó nắm được các định lý, công thức và áp dụng hoàn thành các bài tập.
I. Lý thuyết biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Với hai biểu thức \( A,B\) mà \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B\) , tức là
+) Nếu \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\) thì \(\sqrt {{A^2}B} = A\sqrt B \)
+) Nếu \(A < 0\) và \(B \ge 0\) thì \(\sqrt {{A^2}B} = - A\sqrt B \)
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
+) Với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\) ta có \( A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B}\)
+) Với \(A < 0\) và \(B \ge 0\) ta có \(A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} \)
3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
4. Trục căn thức ở mẫu
+) Với các biểu thức \( A,B\) mà \(B > 0\), ta có \(\dfrac{A}{{\sqrt B }} = \dfrac{{A\sqrt B }}{B}\)
+) Với các biểu thức \(A,B,C\) mà \(A \ge 0,A \ne {B^2}\), ta có \(\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}\)
+) Với các biểu thức \(A,B,C\) mà \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\) ta có
\(\dfrac{C}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}; \dfrac{C}{{\sqrt A + \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\)
II. Một số dạng toán thường gặp về biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
Dạng 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn, đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Phương pháp:
Sử dụng các công thức
* Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Với hai biểu thức \(A,B\) mà \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.\)
* Đưa thừa số vào trong dấu căn
+) \(A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B}\) với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\)
+) \(A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B}\) với \(A < 0\) và \(B \ge 0\)
Dạng 2: So sánh hai căn bậc hai
Phương pháp:
Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai căn bậc hai theo mối liên hệ
\(0 \le A < B \Leftrightarrow \sqrt A < \sqrt B \)
Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Phương pháp:
Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn và hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|.\)
Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu
Dạng 4: Trục căn thức ở mẫu
Phương pháp:
Sử dụng các công thức
+) Với các biểu thức \(A,B\) mà \(A.B \ge 0;B \ne 0\), ta có \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}\)
+) Với các biểu thức \(A,B\) mà \(B > 0\), ta có \(\dfrac{A}{{\sqrt B }} = \dfrac{{A\sqrt B }}{B}\)
+) Với các biểu thức \(A,B,C\) mà \(A \ge 0,A \ne {B^2}\), ta có \(\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}\)
+) Với các biểu thức \(A,B,C\) mà A \ge 0,B \ge 0,A \ne B ta có
\(\dfrac{C}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}; \dfrac{C}{{\sqrt A + \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\)
Dạng 5: Giải phương trình
Phương pháp:
+) Tìm điều kiện
+) Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn để đưa phương trình về dạng cơ bản
+) So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.
III. Bài tập mẫu về biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
Rút gọn các biểu thức :
a) \(\sqrt {75} + \sqrt {48} - \sqrt {300}\) ;
b) \( \sqrt {98} - \sqrt {72} + 0,5\sqrt 8\) ;
c) \(\sqrt {9a} - \sqrt {16a} + \sqrt {49a}\) với \(a \ge 0\);
d) \(\sqrt {16b} + 2\sqrt {40b} - 3\sqrt {90b} \) với \(b \ge 0\).
Lời giải
a)
\(\eqalign{ & \sqrt {75} + \sqrt {48} - \sqrt {300} \cr & = \sqrt {25.3} + \sqrt {16.3} - \sqrt {100.3} \cr} \)
\( = 5\sqrt 3 + 4\sqrt 3 - 10\sqrt 3 = - \sqrt 3 \)
b)
\(\eqalign{ & \sqrt {98} - \sqrt {72} + 0,5\sqrt 8 \cr & = \sqrt {49.2} - \sqrt {36.2} + 0,5\sqrt {4.2} \cr} \)
\( = 7\sqrt 2 - 6\sqrt 2 + \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)
c)
\(\eqalign{ & \sqrt {9a} - \sqrt {16a} + \sqrt {49a} \cr & = 3\sqrt a - 4\sqrt a + 7\sqrt a \cr &= 6\sqrt a \,(với \, a\ge 0)\cr} \)
d)
\(\eqalign{ & \sqrt {16b} + 2\sqrt {40b} - 3\sqrt {90b} \cr & = \sqrt {16b} + 2\sqrt {4.10b} - 3\sqrt {9.10b} \cr} \)
\(\eqalign{ & = 4\sqrt b + 4\sqrt {10b} - 9\sqrt {10b} \cr & = 4\sqrt b - 5\sqrt {10b} \,\,(với \, b \ge 0)\cr} \)
=>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong chuyên đề Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai lớp 9 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài
*******************
Trên đây là lý thuyết biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai bao gồm các kiến thức cần nắm và những dạng bài liên quan. Hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích phục vụ việc học tập của các em. Ngoài ra, các em hãy truy cập doctailieu.com để tham khảo thêm nhiều tài liệu học Toán lớp 9 phong phú khác mà chúng tôi đã sưu tầm và tổng hợp nhé. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!