Bài 5 trang 10 SGK giải tích 12

Hướng dẫn giải và đáp án bài tập 5 trang 10 sách giáo khoa Toán giải tích lớp 12

Đề bài:

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) $$\tan x > x\;\;\left( {0 < x < \frac{\pi }{2}} \right).$$

b) $$\tan x > x + \frac{{{x^3}}}{3}\;\;\left( {0 < x < \frac{\pi }{2}} \right).$$

Hướng dẫn phương pháp giải:

- Chuyển vế tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái sau đó so sánh hàm số y(x) với 0.

- Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số y(x) và khảo sát hàm số y(x)  trên các khoảng đề bài đã cho.

- Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.

Đáp án lời giải bài 5 tr. 10 Giải tích lớp 12

a) $$\tan x > x\;\;\left( {0 < x < \frac{\pi }{2}} \right).$$

Xét hàm số: \(y=f\left( x \right)=\tan x-x\) với \(x\in \left( 0;\ \frac{\pi }{2} \right).\)

Ta có: \(y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1=\frac{1-{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}={{\tan }^{2}}x>0\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)

Vậy hàm số luôn đồng biến trên \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right).\)

\(\Rightarrow \forall \ x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \text{ta có}  \, f\left( x \right)>f\left( 0 \right) \\ \Leftrightarrow \tan x-x>\tan 0-0 \\ \Leftrightarrow \tan x-x>0 \\ \Leftrightarrow \tan x>x\ \ \left( dpcm \right).\)

b) $$\tan x > x + \frac{{{x^3}}}{3}\;\;\left( {0 < x < \frac{\pi }{2}} \right).$$

Xét hàm số: \(y=g\left( x \right)=\tan x-x-\frac{{{x}^{3}}}{3}\) với \(x\in \left( 0;\ \frac{\pi }{2} \right).\)

Ta có: \(y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1-{{x}^{2}}=1+{{\tan }^{2}}x-1-{{x}^{2}}\\ ={{\tan }^{2}}x-{{x}^{2}}=\left( \tan x-x \right)\left( \tan x+x \right).\)

Với \(\forall \ x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \tan x>0\) nên ta có: \(\tan x+x>0\)  và \(\tan x-x>0\) (theo câu a) \(\Rightarrow y'>0\,\,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)

Vậy hàm số \(y=g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow g\left( x \right)>g\left( 0 \right).\)

\(\Leftrightarrow \tan x-x-\frac{{{x}^{3}}}{3}>\tan 0-0-0 \\ \Leftrightarrow \tan x-x-\frac{{{x}^{3}}}{3}>0 \\ \Leftrightarrow \tan x>x+\frac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \ \left( Điều phải chứng minh \right).\)

»» Xem bài trước: Bài 4 trang 10 SGK Giải tích lớp 12

doctailieu.com
bài viết bạn đã xem
Back to top
Fanpage Đọc tài liệu