Giải bài tập 42 trang 73 sách giáo khoa Toán 7 tập 2 - Hình học

Đề bài

Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.

Gợi ý: Trong ΔABC, nếu AD là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài AD một đoạn DA, sao cho DA₁ = AD.

Hướng dẫn giải

Gọi AD là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của góc A trong ΔABC.  Ta chứng minh  ∆ABC cân tại A.

Kéo dài AD một đoạn DA₁ = AD

Xét ∆ADC và ∆A₁DB ta có:

DC = DB (do AD là trung tuyến)

góc D₁ = góc D₂ (2 góc đối đỉnh)

AD = DA₁ (do cách vẽ)

Vậy ∆ADC =  ∆A₁DB (c.g.c)

⇒ AC = A₁B        (1)

Và góc DAC = góc A₁

mà góc BAD = góc DAC (gt)

=> góc BAD = góc A₁

Xét tam giác ABA₁ có góc A₁ = góc BAD

Vậy ∆ABA₁ cân tại B

⇒ BA = BA₁          (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC

Vậy ∆ABC cân tại A.

Tức là: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.