Căn 2 có phải là số hữu tỉ không? Cách chứng minh

Xuất bản ngày 08/09/2020 - Tác giả:

Căn 2 có phải là số hữu tỉ không? Căn 2 không phải là số hữu tỉ, √2 là số vô tỉ, chứng minh căn bậc hai của 2 không phải là số hữu tỉ.

Có rất nhiều bạn học sinh thắc mắc rằng căn 2 có phải là số hữu tỉ không? Dưới đây Đọc tài liệu xin thống kê 2 cách chứng căn bậc hai của 2 không phải là số hữu tỉ:

Cách 1: chứng minh căn bậc hai của 2 không phải số hữu tỉ:

1. Giả sử rằng √2 là một số hữu tỉ. Khi đó sẽ tồn tại hai số nguyên a và b sao cho \(\dfrac{a}{b} = \sqrt{2}\).

2. Như vậy √2 có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọn được nữa): a/b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và \((\dfrac{a}{b})^2 = 2\)

3. Từ (2) suy ra \(\dfrac{a²}{b²} = 2\) và a² = 2b².

4. Do 2b² là số chẵn nên a² là số chẵn.

5. Vì a² là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn) nên suy ra a phải là số chẵn.

6. Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số t sao cho a = 2t (t ∈ N)

7. Thay (6) vào (3) ta có: (2t)² = 2b² <=> (4t)²=(2b)² <=> (2t)²=b²

8. Vì (2t)²=b² mà (2t)² là số chẵn nên b² là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn.

9. Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a/b là phân số tối giản ở (2).

10. Từ đó suy ra √2 là một số hữu tỉ là sai nên √2 phải là số vô tỉ.

Suy ra điều phải chứng minh.

Cách 2: Căn 2 không phải là số hữu tỉ

Giả sử rằng √2 là một số hữu tỉ. Khi đó sẽ tồn tại hai số nguyên dương a và b sao cho a/b = √2

Biến đổi đẳng thức trên, ta có: a/b =(2b – a)/(a – b)

Vì √2 > 1, nên từ (1) suy ra  a > b <=> a > (2b – a)

Từ (2) và (3) suy ra (2b – a)/(a – b) là phân số rút gọn của phân số a/b

Từ (4) suy ra, a/b không thể là phân số tối giản hay √2 không thể là số hữu tỉ (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy √2 phải là số vô tỉ. Suy ra điều phải chứng minh.

Kí hiệu

Căn 2 không phải là số hữu tỉ, kí hiệu như sau: √2 ∉ Q

Đừng quên còn rất nhiều tài liệu giải bài tập toán lớp 7 đang đợi các em khám phá đó nhé!

Bạn còn vấn đề gì băn khoăn?
Vui lòng cung cấp thêm thông tin để chúng tôi giúp bạn
Hủy

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM