Căn 2 có phải là số hữu tỉ không? Cách chứng minh

Căn 2 có phải là số hữu tỉ không? Căn 2 không phải là số hữu tỉ, √2 là số vô tỉ, chứng minh căn bậc hai của 2 không phải là số hữu tỉ.

Có rất nhiều bạn học sinh thắc mắc rằng căn 2 có phải là số hữu tỉ không? Dưới đây Đọc tài liệu xin thống kê 2 cách chứng căn bậc hai của 2 không phải là số hữu tỉ:

Cách 1: chứng minh căn bậc hai của 2 không phải số hữu tỉ:

1. Giả sử rằng √2 là một số hữu tỉ. Khi đó sẽ tồn tại hai số nguyên a và b sao cho \(\dfrac{a}{b} = \sqrt{2}\).

2. Như vậy √2 có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọn được nữa): a/b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và \((\dfrac{a}{b})^2 = 2\)

3. Từ (2) suy ra \(\dfrac{a²}{b²} = 2\) và a² = 2b².

4. Do 2b² là số chẵn nên a² là số chẵn.

5. Vì a² là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn) nên suy ra a phải là số chẵn.

6. Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số t sao cho a = 2t (t ∈ N)

7. Thay (6) vào (3) ta có: (2t)² = 2b² <=> (4t)²=(2b)² <=> (2t)²=b²

8. Vì (2t)²=b² mà (2t)² là số chẵn nên b² là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn.

9. Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a/b là phân số tối giản ở (2).

10. Từ đó suy ra √2 là một số hữu tỉ là sai nên √2 phải là số vô tỉ.

Suy ra điều phải chứng minh.

Cách 2: Căn 2 không phải là số hữu tỉ

Giả sử rằng √2 là một số hữu tỉ. Khi đó sẽ tồn tại hai số nguyên dương a và b sao cho a/b = √2

Biến đổi đẳng thức trên, ta có: a/b =(2b – a)/(a – b)

Vì √2 > 1, nên từ (1) suy ra  a > b <=> a > (2b – a)

Từ (2) và (3) suy ra (2b – a)/(a – b) là phân số rút gọn của phân số a/b

Từ (4) suy ra, a/b không thể là phân số tối giản hay √2 không thể là số hữu tỉ (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy √2 phải là số vô tỉ. Suy ra điều phải chứng minh.

Kí hiệu

Căn 2 không phải là số hữu tỉ, kí hiệu như sau: √2 ∉ Q

Đừng quên còn rất nhiều tài liệu giải bài tập toán lớp 7 đang đợi các em khám phá đó nhé!

doctailieu.com
Back to top