Trang 76 SGK Toán 7 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.20 trang 76 sgk toán 7 tập 2 Kết nối tri thức

Câu hỏi

Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G. Hãy tìm số thích hợp vào chỗ chấm hỏi để được các đẳng thức:

BG = ? BN, CG = ? CP;

BG = ? GN, CG = ? GP.

Bài giải

Vì G là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên $BG = \dfrac{2}{3}BN,CG = \dfrac{2}{3}CP$

Ta có: GN = BN – BG = BN - $\dfrac{2}{3}$BN = $\dfrac{1}{3}$BN; GP = CP – CG = CP - $\dfrac{2}{3}$CP = $\dfrac{1}{3}$CP

Do đó, BN = 3. GN ; CP = 3. GP

Như vậy, $BG = \dfrac{2}{3}BN = \dfrac{2}{3}.3.GN = 2GN;CG = \dfrac{2}{3}CP = \dfrac{2}{3}.3.GP = 2GP$

Vậy $BG = \dfrac{2}{3}BN,CG = \dfrac{2}{3}CP$;

BG = 2GN; CG = 2GP.

Bài 9.21 trang 76 sgk toán 7 tập 2 Kết nối tri thức

Câu hỏi

a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Bài giải

Gọi BM, CN là 2 đường trung tuyến của $\Delta ABC$

$\Rightarrow$MA = MC = $\dfrac{1}{2}$AC; NA = NB = $\dfrac{1}{2}$AB

Vì $\Delta ABC$ cân tại A nên AB = AC ( tính chất)

Do đó, AM = MC = NA = NB

Xét $\Delta$ANC và $\Delta$AMB, ta có:

AN = AM

$\widehat A$ chung

AC = AB

$\Rightarrow$$\Delta$ANC = $\Delta$AMB (c.g.c)

$\Rightarrow$ NC = MB ( 2 cạnh tương ứng)

Vậy 2 đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên của tam giác cân là hai đoạn thẳng bằng nhau.

Vì $∆ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau ở $G$

$\Rightarrow$ $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

$\Rightarrow  GB = \dfrac{2}{3}BM$; $GC = \dfrac{2}{3}CN$ ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác)

Mà $BM = CN$ (giả thiết) nên $GB = GC.$

Tam giác $GBC$ có $GB = GC$ nên $∆GBC$ cân tại $G$.

$\Rightarrow$ $\widehat{GCB} = \widehat{GBC}$ (Tính chất tam giác cân).

Xét $∆BCN$ và $∆CBM$ có:

+) $BC$ là cạnh chung

+) $CN = BM$ (giả thiết)

+) $\widehat{GCB} = \widehat{GBC}$ (chứng minh trên)

Suy ra $∆BCN = ∆CBM$ (c.g.c)

$\Rightarrow$ $\widehat{NBC} = \widehat{MCB}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow ∆ABC$ cân tại $A$ (tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân)

Bài 9.22 trang 76 sgk toán 7 tập 2 Kết nối tri thức

Câu hỏi

Cho góc xOy khác góc bẹt. Dùng compa dựng đường tròn tâm O cắt Ox tại A và cắt Oy tại B. Sau đó dựng hai đường tròn tâm A, tâm B có bán kính bằng nhau sao cho chúng cắt nhau tại M nằm nên trong góc xOy. Chứng minh rằng tia OM là tia phân giác của góc xOy.

Bài giải

Ta có: AM = bán kính đường tròn tâm A

BM = bán kính đường tròn tâm B

Mà 2 đường tròn này có bán kính bằng nhau

Do đó, AM = BM

Xét $\Delta$OAM và $\Delta$ONM có:

OA = OB( = bán kính đường tròn tâm O)

MA = MB

OM chung

$\Rightarrow$ $\Delta$OAM và $\Delta$ONM ( c.c.c)

$\Rightarrow$ $\widehat {AOM} = \widehat {BOM}$ ( 2 góc tương ứng)

Mà OM nằm giữa 2 tia OA và OB

$\Rightarrow$ OM là tia phân giác của góc AOB.

Bài 9.23 trang 76 sgk toán 7 tập 2 Kết nối tri thức

Câu hỏi

Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC. Tính góc BIC khi biết góc BAC bằng 120$^\circ$.

Bài giải

Vì BI là tia phân giác của góc ABC nên $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{1}{2}.\widehat {ABC}$

Vì CI là tia phân giác của góc ACB nên $\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{1}{2}.\widehat {ACB}$

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có:

$\begin{array}{l}\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ  - \widehat {BAC} = 180^\circ  - 120^\circ  = 60^\circ \\ \Rightarrow \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = \dfrac{1}{2}.\left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = \dfrac{1}{2}.60^\circ  = 30^\circ \end{array}$

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác BIC, ta có:

$\begin{array}{l}\widehat {BIC} + \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat {BIC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}}} \right) = 180^\circ  - 30^\circ  = 150^\circ \end{array}$

Vậy $\widehat {BIC} = 150^\circ$

Bài 9.24 trang 76 sgk toán 7 tập 2 Kết nối tri thức

Câu hỏi

Gọi BE và CF là hai đường phân giác của tam giác ABC cân tại A. Chứng minh BE = CF.

Bài giải

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC; $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ ( tính chất)

Vì BE là là tia phân giác của góc ABC nên $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{1}{2}.\widehat {ABC}$

Vì CF là tia phân giác của góc ACB nên $\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{1}{2}.\widehat {ACB}$

Do đó, $\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}$

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACF$, ta có:

$\widehat A$ chung

AB = AC

$\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}$

$\Rightarrow \Delta ABE = \Delta ACF\left( {g.c.g} \right)$

$\Rightarrow$BE = CF ( 2 cạnh tương ứng)

Bài 9.25 trang 76 sgk toán 7 tập 2 Kết nối tri thức

Câu hỏi

Trong tam giác ABC, hai đường phân giác của các góc B và C cắt nhau tại D. Kẻ DP vuông góc với BC, DQ vuông góc với CA, DR vuông góc với AB.

a) Hãy giải thích tại sao DP = DR.

b) Hãy giải thích tại sao DP = DQ.

c) Từ câu a và b suy ra DR = DQ. Tại sao D nằm trên tia phân giác của góc A? ( Đây là một cách chứng minh định lí 2)

Bài giải

a) Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{1}{2}.\widehat {ABC}$

Vì CD là tia phân giác của góc ACB nên $\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{1}{2}.\widehat {ACB}$

Xét $\Delta BDP$ vuông tại P và $\Delta BDR$ vuông tại R, ta có:

$\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_1}}$

BD chung

$\Rightarrow \Delta BDP = \Delta BDR$ ( cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow$ DP = DR ( 2 cạnh tương ứng) (1)

b) Xét $\Delta CDP$ vuông tại P và $\Delta CDQ$ vuông tại Q, ta có:

$\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_1}}$

CD chung

$\Rightarrow \Delta CDP = \Delta CDQ$ ( cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow$ DP = DQ ( 2 cạnh tương ứng) (2)

c) Từ (1) và (2), ta được: DR = DQ ( cùng bằng DP).

D nằm trên tia phân giác của góc A do D cách đều AB và AC.

Bài tiếp theo:

Xem thêm:

• Trang 62 SGK Toán 7 tập 2 Kết nối tri thức
• Trang 65 SGK Toán 7 tập 2 Kết nối tri thức
• Trang 69 SGK Toán 7 tập 2 Kết nối tri thức
• Trang 71 SGK Toán 7 tập 2 Kết nối tri thức
• Trang 83 SGK Toán 7 tập 2 Kết nối tri thức
• Trang 84 SGK Toán 7 tập 2 Kết nối tri thức

Trên đây là chi tiết hướng dẫn Giải bài tập Trang 76 SGK Toán 7 tập 2 Kết nối tri thức được Đọc Tài Liệu biên soạn với mong muốn hỗ trợ các em học sinh học tốt hơn môn Toán lớp 7

Hướng dẫn giải Toán 7 Kết nối tri thức bởi Đọc Tài Liệu