Mời các em tham khảo tổng hợp lý thuyết vị trí tương đối của hai đường tròn cùng một số dạng bài thường gặp và hướng dẫn cách làm, qua đó nắm được các định lý, công thức và áp dụng hoàn thành các bài tập.
Cùng xem nhé!
I. Lý thuyết về vị trí tương đối của hai đường tròn
a. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Trường hợp 1: Hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';r} \right)\) với \( \left( {R > r} \right) \)cắt nhau
Khi đó \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right) \)có hai điểm chung và đường nối tâm là đường trung trực của đoạn AB.
Hệ thức liên hệ R - r \(< \)OO' \(< \) R + r
Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc
+) Hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';r} \right)\) với \(\left( {R > r} \right)\) tiếp xúc trong tại A.
Khi đó A nằm trên đường nối tâm và OO' = R - r.
+) Hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';r} \right)\) với \(\left( {R > r} \right)\) tiếp xúc ngoài tại A.
Khi đó A nằm trên đường nối tâm và OO' = R + r.
Trường hợp 3: Hai đường tròn không giao nhau
+) Hai đường tròn \( \left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';r} \right)\left( {R > r} \right)\) ở ngoài nhau.
Ta có OO' \(>\) R + r
+) Hai đường tròn đựng nhau
Ta có OO' \(<\) R - r
+) Hai đường tròn đồng tâm
Ta có OO' = 0.
Ta có bảng sau
Sự liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn với đoạn nối tâm d và các bán kính R và r
| Vị trí tương đối của hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) với R \(>\) r | Số điểm chung | Hệ thức giữa$d$và$R,r$ |
|---|---|---|
| Hai đường tròn cắt nhau | 2 | R-r \(<\) d \(<\) R + r |
| Hai đường tròn tiếp xúc nhau | 1 |
|
| - Tiếp xúc ngoài | d = R + r | |
| - Tiếp xúc trong | d = R-r | |
| Hai đường tròn không giao nhau | 0 |
|
| - Ở ngoài nhau | d \(>\) R + r | |
| - \(\left( O \right)\) đựng \(\left( {O'} \right)\) | d \(<\) R - r | |
| - \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) đồng tâm | d = 0 |
b. Tính chất đường nối tâm
Đường nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn. Từ đó suy ra :
- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.
c. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
II. Các dạng toán thường gặp về vị trí tương đối của hai đường tròn
Dạng 1: Các bài toán có hai đường tròn tiếp xúc với nhau
Phương pháp:
Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc:
+ Tiếp điểm nằm trên đường nối tâm
+) Hệ thức d = R + r
Khi làm có thể vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn (nếu cần)
Dạng 2: Các bài toán có hai đường tròn cắt nhau
Phương pháp:
Nối dây chung của hai đường tròn rồi dùng tính chất đường nối tâm của hai đường tròn
Hệ thức liên hệ : R-r \(<\) d \(<\) R + r
Dạng 3: Các bài toán tính độ dài, diện tích
Phương pháp:
Sử dụng tính chất đường nối tâm, tính chất tiếp tuyến.
Sử dụng định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông.
III. Bài tập về vị trí tương đối của hai đường tròn
Cho hai đường tròn đồng tâm O. Gọi AB là dây bất kỳ của đường tròn nhỏ. Đường thẳng AB cắt đường tròn lớn ở C và D ( nằm giữa B và C). So sánh các độ dài AC và BD.
Lời giải:
Kẻ OI \(⊥\) AB. Ta có: OI \(⊥\) CD
Trong đường tròn (O) (nhỏ) ta có: OI \(⊥\) AB
Suy ra: IA = IB ( đường kính vuông góc dây cung) (1)
Trong đường tròn (O) (lớn) ta có: OI \(⊥\) CD
Suy ra: IC = ID ( đường kính vuông góc dây cung)
Hay IA + AC = IB + BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AC = BD.
=>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong chuyên đề toán hình 9 chương 2 bài 7 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài
****************
Trên đây là tổng hợp lý thuyết vị trí tương đối của hai đường tròn và các dạng bài thường gặp bao gồm các kiến thức cần nắm và cách làm các dạng bài tập liên quan mà Đọc tài liệu đã tổng hợp. Hy vọng đây sẽ là tài liệu học tập hữu ích cho các em học sinh cũng như các phụ huynh trong quá trình dạy học cho con em mình tại nhà. Ngoài ra đừng quên xem thêm những kiến thức khác và cách giải Toán 9 được cập nhật liên tục tại doctailieu.com. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!