Lý thuyết giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Trong chương trình Toán lớp 9, các em sẽ được làm quen với giải hệ phương trình. Đây là phần kiến thức quan trọng, những dạng toán về giải hệ phương trình sẽ xuất hiện trong hầu hết các bài thi quan trọng ở các mức độ khác nhau từ dễ đến khó.

Để các em nắm được đầy đủ kiến thức về phần này, Đọc Tài Liệu đem đến tài liệu tổng hợp lý thuyết giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số ở bài viết dưới đây, hy vọng sẽ là một tài liệu hữu ích cho quá trình học tập của các em.

Cùng tham khảo nhé!

I. Lý thuyết giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Quy tắc cộng đại số

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số, ta sử dụng phương pháp cộng đại số , bao gồm hai bước sau đây :

II. Các dạng toán thường gặp về giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Phương pháp:

Từ quy tắc cộng đại số, để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số ta làm như sau:

Bước 1. Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trog hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2. Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để thu được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn ).

Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa thu được từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho .

Dạng 2: Giải hệ phương trình đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

Bước 1. Biến đổi hệ phương trình đẫ cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn .

Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số như ở dạng 1 .

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp:

Bước 1. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức chung có trong các phương trình của hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới.

Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số như ở dạng 1

Bước 3.  Trả lại biến đã đặt từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Dạng 4

: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các kiến thức:

+ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\)

có nghiệm \(({x_0};{y_0})  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{x_0} + b{y_0} = c\\a'{x_0} + b'{y_0} = c'\end{array} \right.\).

+ Đường thẳng \(d:ax + by = c\) đi qua điểm \(M({x_0};{y_0})\, \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} = c. \)

III. Bài tập về giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ {\matrix{ {8x - 7y = 5} \cr  {12x + 13y = - 8} \cr} } \right.\)

b) \(\left\{ {\matrix{ {3\sqrt 5 x - 4y = 15 - 2\sqrt 7 } \cr  { - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr} } \right.\)

Lời giải:

a)

\(\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {8x - 7y = 5} \cr  {12x + 13y = - 8} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {24x - 21y = 15} \cr  {24x + 26y = - 16} \cr} } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {47y = - 31} \cr  {8x - 7y = 5} \cr } } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y = \displaystyle - {{31} \over {47}}} \cr  {8x - \displaystyle 7.\left( { - {{31} \over {47}}} \right) = 5} \cr } } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y = \displaystyle - {{31} \over {47}}} \cr  {8x = 5 - \displaystyle {{217} \over {47}}} \cr } } \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y = \displaystyle - {{31} \over {47}}} \cr  {x = \displaystyle {9 \over {188}}} \cr} } \right. \cr} \)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) = \displaystyle \left( {{9 \over {188}}; - {{31} \over {47}}} \right)\)

b)

\(\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {3\sqrt 5 x - 4y = 15 - 2\sqrt 7 } \cr  { - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr } } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {6\sqrt 5 x - 8y = 30 - 4\sqrt 7 } \cr  { - 6\sqrt 5 x + 24\sqrt 7 y = 54} \cr } } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {\left( {24\sqrt 7 - 8} \right)y = 84 - 4\sqrt 7 } \cr  { - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr } } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y = \displaystyle{{4\left( {21 - \sqrt 7 } \right)} \over {8\left( {3\sqrt 7 - 1} \right)}}} \cr  { - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr } } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y = \displaystyle {{\left( {21 - \sqrt 7 } \right)\left( {3\sqrt 7 + 1} \right)} \over {2.\left( {9.7 - 1} \right)}}} \cr  { - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr } } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y = \displaystyle{{62\sqrt 7 } \over {2.62}}} \cr  { - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr } } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y = \displaystyle {{\sqrt 7 } \over 2}} \cr  { - 2\sqrt 5 x + \displaystyle 8\sqrt 7 .{{\sqrt 7 } \over 2} = 18} \cr } } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y =\displaystyle {{\sqrt 7 } \over 2}} \cr  { - 2\sqrt 5 x = - 10} \cr} } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y = \displaystyle {{\sqrt 7 } \over 2}} \cr  {x =\displaystyle {{10} \over {2\sqrt 5 }}} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y = \displaystyle{{\sqrt 7 } \over 2}} \cr  {x = \sqrt 5 } \cr} } \right. \cr} \)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) = \displaystyle\left( {\sqrt 5 ;{{\sqrt 7 } \over 2}} \right)\)

=>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong chuyên đề Toán 9 chương 3 bài 4 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài

**********

Hy vọng với phần lý thuyết giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số trên đây, các em sẽ có thêm một tài liệu học tập hữu ích để học tốt hơn môn Toán 9. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!