Mời các em tham khảo tổng hợp lý thuyết Công thức nghiệm của phương trình bậc hai cùng một số dạng bài thường gặp và hướng dẫn cách làm, qua đó nắm được các định lý, công thức và áp dụng hoàn thành các bài tập.
I. Lý thuyết Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\)
và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac.\)
TH1. Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
TH2. Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}.\)
TH3. Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_{1}} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}, {x_{2}} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}.\)
Chú ý: Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\, (a \ne 0)\) có a và c trái dấu, tức là \(ac < 0\). Do đó \( \Delta = {b^2} - 4ac > 0\). Vì thế phương trình có hai nghiệm phân biệt.
II. Các dạng bài thường gặp về Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Dạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng công thức nghiệm.
Phương pháp:
Xét phương trình bậc hai: \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\)
Bước 1: Xác định các hệ số a,b,c và tính biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\)
Bước 2: Kết luận
- Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{a}\)
- Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}.\)
Dạng 4: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp:
Xét phương trình bậc hai: \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\)
1. PT có nghiệm kép \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta = 0\end{array} \right.\)
2. PT có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\)
3. PT vô nghiệm \(\Leftrightarrow a \ne 0;\,\Delta < 0.\)
III. Bài tập về Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình:
a) \(5x^2 – x +2 = 0\)
b) \(4x^2 - 4x + 1 = 0\)
c) \(-3x^2+ x + 5 = 0\)
Lời giải:
a) Xét phương trình \(5x^2 – x +2 = 0\) có \( a = 5; b = -1; c = 2\)
\(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.5.2 = 1 - 40 = - 39 < 0\)
Vậy phương trình trên vô nghiệm.
b) Xét phương trình \(4x^2 - 4x + 1 = 0\) có \( a = 4; b = -4; c = 1\)
\(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.4.1 = 16 - 16 = 0\)
\(\Rightarrow \) phương trình có nghiệm kép
\(\displaystyle x = {{ - b} \over {2a}} = {{ - \left( { - 4} \right)} \over {2.4}} = {1 \over 2}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(\displaystyle x = {1 \over 2}\)
c) Xét phương trình \(-3x^2 + x + 5 = 0\) có \(a = -3; b = 1; c = 5\)
\(\Delta = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.\left( { - 3} \right).5 = 1 + 60 =61> 0\)
Do đó \(\Delta > 0\) nên áp dụng công thức nghiệm, phương trình có 2 nghiệm phân biệt
\(\displaystyle{x_1} = {{1 - \sqrt {61} } \over 6};\,\,{x_2} = {{1 + \sqrt {61} } \over 6}\)
=>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong Toán 9 chương 4 bài 4 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài
****************
Trên đây là lý thuyết Công thức nghiệm của phương trình bậc hai bao gồm các kiến thức cần nắm và những dạng bài liên quan. Hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích phục vụ việc học tập của các em. Ngoài ra, các em hãy truy cập doctailieu.com để tham khảo thêm nhiều tài liệu học Toán lớp 9 phong phú khác mà chúng tôi đã sưu tầm và tổng hợp nhé. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!